2023-2024学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷（含答案）

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这是一份2023-2024学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足|z−1|=1，|z|的取值范围为( )
A. [0,2]B. (0,2)C. [0,4]D. (0,4)
2.在同一平面直角坐标系内，将所有可以用两点式方程表示的直线组成的集合记为A；将所有可以用点斜式方程表示的直线组成的集合记为B；将所有可以用点法式方程表示的直线组成的集合记为C.则下列结论中正确的是( )
A. A=B=CB. C⊂B⊂AC. A⊂B⊂CD. B⊂C⊂A
3.已知向量a，b，c满足a+b+c=0，且a2A. a⋅bB. b⋅cC. a⋅cD. 不能确定的
4.若无穷数列{an}满足：a1≥0，当n∈N，n≥2时，|an−an−1|=max{a1,a2,⋯,an−1}(其中max{a1,a2,⋯,an−1}表示a1，a2，⋯，an−1中的最大项)，有以下结论：
①若数列{an}是常数列，则an=0(n∈N,n≥1)；
②若数列{an}是等差数列，则公差d<0；
③若数列{an}是等比数列，则公比q>1；
④若存在正整数T，对任意n∈N，n≥1，都有an+T=an，则a1是数列{an}的最大项．
则其中的正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.平面直角坐标系中，以(−2,1)为圆心，且经过原点的圆的方程为______．
6.在复数范围内方程x2−2x+3=0的解集是______．
7.若等差数列{an}的前三项依次为1，a+1，a+3，则实数a的值为______．
8.已知数列{an}的前n项和Sn=n3−n2，则a10= ______．
9.已知|a|=|b|=2，a⋅b=2，则= ______．
10.已知a=(1,−1)，b=(2,0)，则b在a方向上的投影的坐标为______．
11.直线l1：y=2x−1与l2：y=13x+2的夹角为______．
12.将无限循环小数化为分数： ______．
13.已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且AB+AC=2AO，|AB|=|AO|，则CA⋅CB= ______．
14.计算：k=11979cskπ180= ______．
15.当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运(旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面).已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形EFGH，其中宽度EH=1.2米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度EF为______米(结果精确到0.1米)．
16.已知n是大于3的正整数，平面直角坐标系xOy中，正n边形P1P2⋯Pn内接于单位圆.若集合S={P||PO|≤|PPi|,i=1,2,⋯,n}，则集合S表示的平面区域的面积为______.(结果用n表示)
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知复数z=(2−a)+(2+a)i，其中i为虚数单位，a∈R．
(1)若z⋅z−=16，求实数a的值；
(2)求|z−2|的最小值，并指出|z−2|取到最小值时实数a的值．
18.(本小题12分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=sin(ωx+φ)，(ω>0,0≤φ<2π)．
(1)若ω=1，φ=0，在用“五点法”作出函数y=f(x)，x∈[0,2π]的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成如表：
(2)若ω=2，φ=π3，写出函数y=f(x)的最小正周期和单调增区间；
(3)若y=f(x)的频率为1π，且f(x)≤f(π2)恒成立，求函数y=f(x)的解析式．
19.(本小题12分)
如图，某地有三家工厂分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处.AB=20km，BC=10km.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内(不含边界)且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道OA、OB、OP.记排污管道的总长度为ykm．
(1)设∠BAO=θ，将y表示成θ的函数并求其定义域；
(2)确定污水处理厂的位置，使排污管道的总长度y最短，并求出此时y的值．
20.(本小题12分)
如图，平面直角坐标系xOy中有一张圆形纸片(不计厚度)，圆心为坐标原点O，OA是圆形纸片的一条半径，其中点A(2,0)，点B是线段OA的中点.在圆形纸片的边界上任取一点P，将纸片对折，使得P与B重合，展开后得到的折痕为线段MN(端点M、N在纸片边界上)：
(1)若点P与点A重合，求折痕MN所在直线的方程；
(2)若PB⊥OA，且点P在第一象限，求线段MN的长度；
(3)求线段MN的长度的取值范围．
21.(本小题12分)
若无穷数列{an}满足：存在正整数T，使得an+T=an对一切正整数n成立，则称{an}是周期为T的周期数列．
(1)若an=2n+3，bn=3(n∈N∗)，判断数列{an}与{bn}是否为周期数列(不必说明理由)；
(2)若an+1=sinan(n∈N∗)，且数列{an}为周期数列，求该数列的首项a1；
(3)设函数y=f(x)的实数集R，且|f(x)|≤1对任意实数x恒成立.{bn}是无穷数列，an+1=f(an)+bn(n∈N∗)，求证：“存在a1，使得{an}是周期数列”的充要条件是“{bn}是周期数列”．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.(x+2)2+(y−1)2=5
6.{1+ 2i,1− 2i}
7.2
8.252
9.π3
10.(1,−1)
11.π4
12.3199
13.3
14.0
15.2.6
16.n4tanπn
17.解：(1)z−=(2−a)−(2+a)i，
z=(2−a)−(2+a)i，z⋅z−=(2−a)2+(2+a)2=8+2a2=16，解得a=±2．
经检验，a=±2满足要求；
(2)|z−2|=|−a+(2+a)i|= (−a)2+(2+a)2= 2a2+4a+4
= 2(a+1)2+2，
当a=−1时，|z−2|取得最小值，最小值为 2．
故|z−2|最小值为 2，此时a=−1．
18.解：(1)若ω=1，φ=0，则f(x)=sinx，x∈[0,2π]，
五点法列表如下：
(2)若ω=2，φ=π3，则f(x)=sin(2x+π3)，
所以f(x)最小正周期T=2π2=π，
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以y=f(x)的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．
(3)由题意可得y=f(x)的周期T=π，则ω=2，
所以f(x)=sin(2x+φ)，又f(x)≤f(π2)恒成立，
所以f(π2)=1，即sin(2×π2+φ)=1，即sinφ=−1，
又0≤φ<2π，所以φ=3π2，
所以f(x)=sin(2x+3π2)=−cs2x．
19.解：(1)如图所示，延长PO交AB于点E，

根据题意OA=OB，PE=10，PE⊥AB，AE=10，
当点O，E重合时，θ=0最小；
当点O，P重合时，θ=∠PAE=π4最大，
当点O与P，E不重合时，
在△OAE中，csθ=AEOA，tanθ=OEAE，OA=OB=AEcsθ=10csθ，OE=tanθ⋅AE=10tanθ，
所以y=OA+OB+PO=10csθ+10csθ+10−10tanθ=20csθ+10−10tanθ=20−10sinθcsθ+10，
所以y=20−10sinθcsθ+10，函数的定义域为θ∈[0,π4]；
(2)y=20−10sinθcsθ+10，θ∈[0,π4]，
y′=−10csθcsθ−(20−10sinθ)(−sinθ)cs2θ=10(2sinθ−1)cs2θ，
令y=0，得sinθ=12，
因为0≤θ≤π4，所以θ=π6，
当θ∈(0,π6)时，y′<0，y是θ的减函数，
当θ∈(π6,π4)时，y′>0，y是θ的增函数，
所以当θ=π6时，ymin=20−10×12 32+10=10 3+10，
此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边10 33km处．
所以三条排污管管道总长最短为10+10 3(km)．
20.解：(1)点P与点A重合时，折痕MN所在直线为线段AB的中垂线，其方程为x=32；
(2)点B(1,0)，PB⊥OA且点P在第一象限时，P(1, 3)，
所以线段AB的中垂线MN的方程为y= 32，
圆心O到直线MN的距离d= 32，
所以|MN|=2 4−d2= 13；
(3)设P(m,n)，其中m2+n2=4，
折痕MN所在直线即线段PB的中垂线(x−1)2+y2=(x−m)2+(y−n)2，
即(2m−2)x+2ny−3=0，
所以圆心O到直线MN的距离d=3 (2m−2)2+4n2=3 20−8m，
由于m的取值范围为[−2,2]，
所以d的取值范围为[12,32]
而|MN|=2 4−d2，
所以线段MN的长度的取值范围是[ 7, 15]．
21.解：(1)数列{an}不是周期数列，数列{bn}是周期数列．
因为an=2n+3，
假设存在正整数T，使得an+T=an对一切正整数n成立，
即2(n+T)+3=2n+3，解得T=0∉N∗，
所以数列{an}不是周期数列，
因为bn=3(n∈N∗)，
对任意的正整数T，均有bn+T=3=bn(n∈N∗)，
所以数列{bn}是周期数列，
综上，数列{an}不是周期数列，数列{bn}是周期数列；
(2)对任意n≥2时，an=sinan−1∈[−1,1]，
所以|an+1|=|sinan|=sin|an|≤|an|，等号当且仅当an=0时成立．
因此当a2≠0时，必有|a2|>|a3|>⋯>|an|>⋯，
则数列{an}不是周期数列，与已知矛盾．
而数列{an}为周期数列，
所以必有0=a2=a3=⋯=an=⋯，
因此a1=0；
(3)证明：先证必要性：
若存在a1，使得{an}是周期数列，
设{an}的周期为T0，
则bn+T0=an+T0+1−f(an+T0)=an+1−f(an)=bn，
所以{bn}是周期为T0的周期数列．
再证充分性：
若{bn}是周期数列，设它的周期为T，记a1=x，
则记a1=f0(x)=x；
记a2=f1(x)=b1+f(x)；
记a3=f2(x)=b2+f(a2)=b2+f(f1(x))；
记a4=f3(x)=b3+f(a3)=b3+f(f2(x))；
…
记aT=fT−1(x)=bT−1+f(aT−1)=bT−1+f(fT−2(x))；
所以aT+1=bT+f(fT−1(x))，
令g(x)=x−bT−f(fT−1(x))，
则y=g(x)是连续函数，且g(bT+2)=2−f(fT−1(x))≥2−1>0，
g(bT−2)=−2−f(fT−1(x))≤−2+1<0，
所以函数y=g(x)存在零点c．
于是c−bT−sinfT−1(c)=0，
取a1=c，
则aT+1=bT+sinfT−1(c)=c=a1，
从而aT+2=bT+1+sinaT+1=b1+sina1=a2，
aT+3=bT+2+sinaT+2=b2+sina2=a3，
……
一般地，an+T=an对任何正整数n都成立，
即{an}是周期为T的周期数列． x
0
f(x)
0
x
0
π2
π
3π2
2π
f(x)
0
1
0
−1
0