2023-2024学年新疆乌鲁木齐七十中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐七十中高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={1,2,3,4,5,9}，B={x| x∈A}，则∁A(A∩B)=( )
A. {1,4,9}B. {3,4,9}C. {1,2,3}D. {2,3,5}
2.设向量a=(x+1,x),b=(x,2)，则( )
A. “x=−3”是“a⊥b”的必要条件
B. “x=−3”是“a//b”的必要条件
C. “x=0”是“a⊥b”的充分条件
D. “x=−1+ 3”是“a//b”的充分条件
3.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=−lnxB. f(x)=12xC. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|
4.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是( )
A. 当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态
B. 当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态
C. 当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态
5.用0，2，3，5，7，8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数，其中偶数有M个，则MN=( )
A. 2750B. 1325C. 1225D. 12
6.若2a+lg2a=4b+2lg4b，则( )
A. a>b2B. a2bD. a<2b
7.新型冠状病毒(2019−NCV)因2019年武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
参考数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
下列说法正确的是( )
A. 有95%的把握认为药物无效
B. 有95%的把握认为药物有效
C. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效
D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效
8.已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M={x0|x0∈R,x∈(−∞,x0)，f(x)A. 存在f(x)是偶函数B. 存在f(x)在x=2处取最大值
C. 存在f(x)为严格增函数D. 存在f(x)在x=−1处取到极小值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的有( )
A. 若x>1，则x+4x+1有最小值3B. 若x∈R，则2xx2+1有最大值1
C. 若x>y>0，则x3>y3D. 若x1y
10.为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x−=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x−,s2)，则( )(参考：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.8413)
A. P(X>2)>0.5B. P(X>1.9)<0.2
C. P(Y>2)>0.5D. P(Y>2)<0.8
11.在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数f(x)=i=14sin[(2i−1)x]2i−1的图象可以近似模拟某种信号的波形，则( )
A. f(x)为偶函数B. f(x)的图象关于点(2π,0)对称
C. f(x)的图象关于直线x=π2对称D. π是f(x)的一个周期
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设f(x)= x,013.(x+1)(x−2)7的展开式中x7的系数为______.(用数字作答)
14.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6：3：1，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：
他们分别用两种模型①y=bx+a，②y=aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
(Ⅰ)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(Ⅱ)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
(ⅰ)剔除异常数据后求出(Ⅰ)中所选模型的回归方程；
(ⅱ)若广告投入量x=18时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)，其回归直线y​=b​x+a​的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−12ax2+ax(a∈R)．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
17.(本小题15分)
设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=n2+nan，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99−T99=99，求d．
18.(本小题17分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，AD//BC，AD=DC=2，BC=1，∠BCD=60°，A1D1=D1D=1．
(1)记平面A1ADD1与平面B1BCC1的交线为l，证明：l/​/BC；
(2)求平面A1ADD1与平面A1ABB1的夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qi，i=1，2，⋯，n，则E(i=1nXi)=i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.D
5.B
6.D
7.B
8.B
9.BCD
10.BC
11.BC
12.9
13.−13

15.解：(Ⅰ)应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，
说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高；
(Ⅱ)(ⅰ)剔除异常数据，即月份为3的数据后，得x−=15(7×6−6)=7.2；
y−=15(30×6−31.8)=29.64，
i=15xiyi=1464.24−6×31.8=1273.44，
i=15(xi)2=364−62=328，
b=i=15xiyi−nx−y−i=15xi2−nx−2=1273.44−5×7.2×29.64328−5×7.2×7.2=，
a=y−−bx−=29.64−3×7.2=8.04，
所以y关于x的线性回归方程为：y =3x+8.04；
(ⅱ)把x=18代入回归方程得：y =3×18+8.04=62.04，
故预报值约为62.04万元．
16.解：(1)当a=1时，f(x)=(x−2)ex−12x2+x，得f(2)=0，
f′(x)=(x−1)ex−x+1，则k=f′(2)=e2−1，
所以切线方程为：y=(e2−1)(x−2)，即(e2−1)x−y−2(e2−1)=0．
(2)由题f(x)=(x−2)ex−12ax2+ax其定义域为R，可得f′(x)=(x−1)ex−ax+a=(x−1)(ex−a)，
当a≤0时，x∈(−∞,1)，f′(x)<0，f(x)在(−∞,1)上单调递减，
x∈(1,+∞)，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增，
当a>0时，由f′(x)=0，解得x1=lna，x2=1，
①当lna=1，即a=e时，f′(x)≥0，则f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
②当lna<1，即00；
在区间(lna,1)上，f′(x)<0；
所以f(x)在(−∞,lna)，(1,+∞)上单调递增；在(lna,1)上单调递减；
③当lna>1，即a>e时，
在区间(−∞,1)，(lna,+∞)上，f′(x)>0，在区间(1,lna)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(−∞,1)，(lna,+∞)上单调递增；在(1,lna)上单调递减．
17.解：(1)由3a2=3a1+a3，可得3(a1+d)=3a1+a1+2d，
即为d=a1，an=a1+(n−1)d=nd，
则bn=n2+nan=n+1d．
由S3+T3=21，可得d+2d+3d+2d+3d+4d=21，
化为2d2−7d+3=0，又d>1，
解得d=3，
则an=3n，n∈N∗；
(2)由{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且bn=n2+nan，
根据等差数列的通项公式的特点，可设an=tn，d=t>1；
或设an=k(n+1)，d=k>1，
①当an=tn，d=t>1时，bn=n+1t，
则S99−T99=12×99×(t+99t)−12×99×(2t+100t)=99，
化为50t2−t−51=0，又d=t>1，
解得d=t=5150；
②当an=k(n+1)，d=k>1时，bn=nk，
则S99−T99=12×99×(2k+100k)−12×99×(1k+99k)=99，
化为51k−50k=1，
即51k2−k−50=0，又d=k>1，
此时k无解，
综合可得d=5150．
18.解：(1)证明：因为AD//BC，AD⊂平面A1ADD1，BC⊄平面A1ADD1，
所以BC/​/平面A1ADD1，
又BC⊂平面B1BCC1，平面A1ADD1∩平面B1BCC1=l，
所以l/​/BC；
(2)在△BCD中，BC=1，CD=2，∠BCD=π3，
由余弦定理得，BD= 3，则CD2=BC2+BD2，得BC⊥BD，
又AD//BC，则AD⊥BD，
因为D1D⊥平面ABCD，
所以D1D⊥AD，D1D⊥BD，
又AD∩DD1=D，所以BD⊥平面A1ADD1
以{DA,DB,DD1}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，B(0, 3,0)，A1(1,0,1)，
所以AB=(−2, 3,0)，AA1=(−1,0,1)．
设平面A1ABB1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB=−2x+ 3y=0n⋅AA1=−x+z=0，
令x=1，得z=1，y=2 3，
所以n=(1,2 3,1)，
又DB=(0, 3,0)是平面A1ADD1的一个法向量，
记平面A1ADD1与平面A1ABB1的夹角为θ，
所以csθ=|DB⋅n||DB||n|=2 3× 103= 105，
所以平面A1ADD1与平面A1ABB1的夹角的余弦值为 105．
19.解：(1)设第2次投篮的人是乙的概率为P，
由题意得P=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6；
(2)由题意设Pn为第n次投篮的是甲，
则Pn+1=0.6Pn+0.2(1−Pn)=0.4Pn+0.2，
∴Pn+1−13=0.4(Pn−13)，
又P1−13=12−13=16≠0，则{Pn−13}是首项为16，公比为0.4的等比数列，
∴Pn−13=16×(25)n−1，即Pn=13+16×(25)n−1，
∴第i次投篮的人是甲的概率为Pi=13+16×(25)i−1；
(3)由(2)得Pi=13+16×(25)i−1，
由题意得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P(Yi=1)=1−P(Yi=0)=Pi，
∴E(i=1nYi)=E(Y)=i=1nPi，
∴当n≥1时，E(Y)=i=1nPi=16i=1n(25)i−1+n3=16[1−(25)n]1−25+n3=518[1−(25)n]+n3；
当n=0时，E(Y)=0=518[1−(25)0]+03，
综上所述，E(Y)=518[1−(25)n]+n3，n∈N． 患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服药
20
30
50
总计
30
75
105
α
0.05
0.01
χα
3.841
6.635
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量
2
4
6
8
10
12
收益
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
x−
y−
i=16xiyi
i=16xi2
7
30
1464.2
36