2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一（下）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin81°cs51°−cs81°sin51°=( )
A. − 32B. 32C. −12D. 12
2.下列几个命题，其中正确的命题的个数有( )
(1)实数的共轭复数是它本身 (2)复数的实部是实数，虚部是虚数
(3)复数与复平面内的点一一对应 (4)复数i是最小的纯虚数
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.若a=(1, 3)，|b|= 3，|a+2b|=2，则向量a与b的夹角为( )
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
4.已知复数z满足(1+i)z=3−i，则复数|z−|=( )
A. 2B. 5C. 2 2D. 10
5.已知|a|=6，|b|=3，a⋅b=−12，则向量b在向量a方向上的投影向量是( )
A. 23aB. 13aC. −23aD. −13a
6.f(x)=Acs2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ<π2)的最大值是3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两个对称中心的距离为2，则ω+φ的值为( )
A. π2B. πC. 2+π4D. 2+π2
7.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=3，AC=5，N为边BC的中点，则AN⋅AM=( )
A. 7 B. 152
C. 8 D. 172
8.德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC= 5−12，根据这些信息，可得sin126°=( )．
A. 1−2 54B. 3+ 58C. 1+ 54D. 4+ 58
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=2+i，z1=x+yi(x,y∈R)(i为虚数单位)，z−为z的共轭复数，则下列结论正确的是( )
A. z−的虚部为−i
B. z对应的点在第一象限
C. |z−||z|=1
D. 若|z−z1|≤1，则在复平面内z1对应的点形成的图形的面积为π
10.已知f(x)=sin(3π2+x)sin(7π−x)，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)的最小正周期是2π
C. f(x)图象的一个对称中心是(π2,0)D. f(x)上[0,π4]单调递增
11.已知a,b是单位向量，则下列命题正确的是( )
A. 若a=(− 32,t)，则t=−12
B. 若a,b不共线，则(a+b)⊥(a−b)
C. 若|a−b|≥ 3，则a,b夹角的最小值是2π3
D. 若a⋅b<0，则a,b的夹角是钝角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=sinωx(ω>0)，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，所得函数g(x)的图象关于y轴对称，且g(x)在(π10,π4)上单调递减，则ω= ______．
13.在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=2DC，E是AD的中点，过点E的直线与AB，AC两边分别交于M，N两点(点M，N与点B，C不重合)，设AB=xAM,AC=yAN，则1x+2y的最小值为______．
14.某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为π6，π4，π3，且AB=BC=20m，则四门通天铜雕的高度为______m.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=sinx−csx(x∈R)．
(Ⅰ)求函数y=f(x)⋅f(π−x)的单调递增区间；
(Ⅱ)求函数y=f2(x)+f(2x−π4)的值域．
16.(本小题15分)
近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t(秒)后离地面的距离为S(米)，则S关于t的函数关系式为S(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)．
(1)求S(t)的解析式；
(2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a−c)(sinA+sinC)=(b−c)sinB．
(1)求A；
(2)设向量m=(−1,0)，n=(2cs2B2,csC)，求|m+n|的最小值．
18.(本小题17分)
向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程.请用向量法解决解决以下问题：
(1)证明△ABC的三条高线AD、BE、CF交于一点；
(2)已知矩形MNPQ，G为平面内任意一点，求证：|GM|2+|GP|2=|GN|2+|GQ|2；
(3)如图，已知圆O：x2+y2=4，A，B是圆O上两个动点，已知点P(1,0)，求矩形PACB的顶点C的轨迹方程．
19.(本小题17分)
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(csθ+isinθ)的形式，即a=rcsθb=sinθ，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz，r(csθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形式．

z1±z2：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
z1⋅z2：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad)i
z1z2：a+bic+di=ac+bdc2+d2=bc−cdc2+d2i(c+di≠0)
(1)设复数z1=r1(csα+isinα)，z2=r2(csβ+isinβ)，求z1⋅z2，z1z2的三角形式；
(2)设复数z3=1−csθ+isinθ，z4=1+csθ+isinθ，其中θ∈(π,2π)，求argz3+argz4；
(3)在△ABC中，已知a、b、c为三个内角A，B，C的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明；
①asinA=bsinB=csinC；
②a=bcsC+ccsB，b=acsC+ccsA，c=acsB+bcsA．
注意：使用复数以外的方法证明不给分．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.D
6.A
7.D
8.C
9.BCD
10.AC
11.BC
12.3
13.32
14.10 6
15.解：(Ⅰ)函数y=f(x)⋅f(π−x)
=(sinx−csx)[sin(π−x)−cs(π−x)]
=(sinx−csx)(sinx+csx)
=sin2x−cs2x=−cs2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+π2，k∈Z，
所以函数y=f(x)⋅f(π−x)的单调递增区间为[kπ,kπ+π2]，k∈Z．
(Ⅱ)函数y=f2(x)+f(2x−π4)
=(sinx−csx)2+sin(2x−π4)−cs(2x−π4)
=1−sin2x+ 22sin2x− 22cs2x− 22cs2x− 22sin2x
=1−sin2x− 2cs2x
=− 3sin(2x+φ)+1，其中tanφ= 2，
因为sin(2x+φ)∈[−1,1]，
所以− 3sin(2x+φ)+1∈[− 3+1, 3+1]，
即函数y=f2(x)+f(2x−π4)的值域为[− 3+1, 3+1]．
16.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，

当t=0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0(0,60)，
由题意得，ω=2π5，且A+B=100+40−A+B=100−40S(0)=Asinφ+B=60，
解得A=40B=100φ=−π2，
所以S(t)=40sin(2π5t−π2)+100；
(2)令S(t)≥80，则S(t)=40sin(2π5t−π2)+100≥80，
即cs2π5t≤12，
所以2kπ+π3≤2π5t≤2kπ+5π3(k∈Z)，解得56+5k≤t≤256+5k(k∈Z)，
当k=0时，56≤t≤256,256−56=103，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为103秒．
17.解：(1)∵(a−c)(sinA+sinC)=(b−c)sinB，
∴(a−c)(a+c)=(b−c)b，即b2+c2−a2=bc，
∴csA=b2+c2−a22bc=12，
∵0(2)由(1)知，A=π3，则B+C=2π3，
csC=cs(2π3−B)=cs2π3csB+sin2π3sinB=−12csB+ 32sinB，
∴n=(2cs2B2,csC)=(2cs2B2,−12csB+ 32sinB)，
则m+n=(2cs2B2−1,−12csB+ 32sinB)=(csB,−12csB+ 32sinB)，
∴|m+n|= cs2B+( 32sinB−12csB)2= 14cs2B− 34sin2B+1
= 12cs(2B+π3)+1．
∵0∴−1≤cs(2B+π3)<12，可得 22≤|m+n|< 52，
则|m+n|的最小值为 22．
18.(1)证明：设AD，BE交于点H，

因为AD⊥BC，BE⊥CA，则有AH⋅CB=0，BH⋅CA=0，
又(CH−CA)⋅CB=CH⋅CB−CA⋅CB=0，①
(CH−CB)⋅CA=CH⋅CA−CB⋅CA=0，②，
①−②，可得CH⋅(CB−CA)=0，即CH⋅AB=0.所以CH⊥AB，即CH⊥AB，
又因为CF⊥AB，则C，H，F三点共线，
所以AD，BE，CF相交于一点．
(2)解：以M点为原点建立平面直角坐标系：

记M(0,0)，N(a,0)，P(a,b)，Q(0,b)，设G(x,y)，
则有：|GM|2+|GP|2=x2+y2+(x−a)2+(y−b)2=2x2+2y2−2ax−2by+a2+b2，
|GN|2+|GQ2|=(x−a)2+y2+x2+(y−b)2=2x2+2y2−2ax−2by+a2+b2，
故：|GM|2+|GP|2=|GN|2+|GQ|2；
(2)设C(x,y)，由(1)可得：|OP|2+|OC|2=|OA|2+|OB|2，
得：1+x2+y2=4+4，化简得M轨迹方程为：x2+y2=7．
19.解：(1)z1⋅z2=r1(csα+isinα)⋅r2(csβ+isinβ)
=r1r2[csαcsβ−sinasinβ+i(sinαcsβ+csαsinβ)]
=r1r2[cs(α+β)+isin(α+β)]，
z1z2=r1(csα+isinα)r2(csβ+isinβ)=r1(csα+isinα)(csβ−isinβ)r2(csβ+isinβ)(csβ−isinβ)
=r1[csαcsβ+sinαsinβ+i(sinαcsβ−csαsinβ)]r2(cs2β+sin2β)
=r1r2[cs(α−β)+isin(α−β)]；
(2)设argz3=α，argz4=β，z3的模为r3，z4的模为r4，α，β∈[0,2π)，
对于z3=1−csθ+isinθ有1−csθ=r3csα>0sinθ=r3sinα<0，θ∈(π,2π)，
对于z4=1+csθ+isinθ有1+csθ=r4csβ>0sinθ=r4sinβ<0，θ∈(π,2π)，
所以tanα=sinθ1−csθ，tanβ=sinθ1+csθ，α，β∈(3π2,2π)，
所以tanα+tanβ=sinθ1−csθ+sinθ1+csθ=sinθ(1+csθ)+sinθ(1−csθ)(1−csθ)(1+csθ)=2sinθ，
tanαtanβ=sinθ1−csθ⋅sinθ1+csθ=1，故cs(α+β)=0，即α+β的角的终边在y轴上，
又a+β∈(3π,4π)，所以α+β=7π2，即argz3+argz4=7π2．
(3)证明：如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点A作BC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，则AB+AD=AC．
所以c(csA+isinA)+a[(cs(−C)+isin(−C)]=b,
即ccsA+icsinA+acsC−iasinC=b，
即(ccsA+acsC)+i(csinA−asinC)=b，
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得csA+acsC=bcsinA−asinC=0，
所以asinA=csinC，ccsA+acsC=b，
同理asinA=bsinB，acsB+bcsA=c，
csinC=bsinB，bcsC+ccsB=a，
所以asinA=bsinB=csinC，a=bcsC+ccsB，b=acsC+ccsA，c=acsB+bcsA．