2023-2024学年北京市十一学校晋元中学八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市十一学校晋元中学八年级（下）期末数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.反比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，AB//y轴，若△ABC的面积为3，则k的值为( )
A. −3
B. −32
C. −6
D. −9
3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法准确判断
4.一元二次方程kx2−6x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<3B. k<3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠0
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为(−3,4)，则顶点B的坐标是( )
A. (−5,4)
B. (−6,3)
C. (−8,4)
D. (2,4)
6.如图所示是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=mx的图象，观察图象写出当y1>y2时，x的取值范围为( )
A. x<−2或0B. x<−2或x<3
C. −23
D. −27.已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：
则当−4A. −38.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a<12；④b>1.其中正确的结论是( )
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知x=2是一元二次方程x2−2mx+4=0的一个解，则m的值为______．
10.右图为反比例函数y=kx的图象，请写出满足图象的一个k的值______．
11.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，D是BC的中点，DE//AB，则△CDE的周长为______．
12.如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA′，若AC⊥A′B′，则∠AA′B′= ______度.
13.对于二次函数y=−x2+2ax，当x>1时，y随x的增大而减小，那么a的取值范围为______．
14.在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=3，过点D作DH⊥AB于
点H，连接CH.若CH平分∠DCB，则DH的长是______．
15.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．
已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在
该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这
两盏灯的水平距离EF是______米．
16.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 ．
三、解答题：本题共10小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解方程：2x2−6x+1=0(用配方法)．
18.(本小题6分)
如图，在Rt△OAB中，∠BAO=90°，且点B的坐标是(2,4)．
(1)将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OA1B1，在图中画出△OA1B1；
(2)点C与点B关于点A1中心对称，则点C的坐标为______；
(3)点A到直线B1C的距离为______．
19.(本小题6分)
如图所示，双曲线y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=−12x−1的图象交于A(m,1)，B(2,n)两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设P为x轴上一点，当△APB的面积为3时，求点P的坐标．
20.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求a的取值范围；
(2)若x1，x2满足x12+x22−x1x2=16，求a的值．
21.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，将反比例函数y=mx的图象向右移动三个单位后，图象经过P(−1,−1)点；一次函数y=kx+b的图象也经过P点，并且与反比例函数y=mx交于A、B两点；
(1)当k=1时，求点A、B的坐标；
(2)当x>2时，对于x的每一个取值，一次函数y=kx+b的值大于反比例函数y=mx的值，结合图象直接写出k的取值范围．
22.(本小题6分)
如图，BD平分∠ABF，点A是射线BM上一点，过点A作AD//BN交BG于点D，过A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)在BF上取点C使得CF=BE，连接AC、CD.求证：AC⊥BD．
23.(本小题6分)
某校九年级课外科技活动小组的同学们研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表．
【探究发现】x与t，y与t之间的数量关系可用我们学过的函数来描述．
(1)直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题．
(2)若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(3)在安全线上设置回收区域MN，AM=105m，MN=5m.若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
24.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为x=t，点(3,m)，(t+1,n)在抛物线上．
(1)若m=n，求t的值；
(2)若n25.(本小题7分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D为底边BC上一点，将线段AC绕点A逆时针旋转角度α到AE，将线段DA绕点D逆时针旋转α到DF，连EF交AC于点M；
(1)根据题意补全图形；
(2)求证：∠DFE=∠CAD+∠AEF；
(3)用等式表示线段EM与FM之间的数量关系，说明理由．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、y轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q在图形N上，那么称图形N是图形M的“关联图形”．
(1)如图，点A(−3,2)，B(0,−1)，C(3,2)，D(−1,6)．
①在点B，C，D中，可以是点A的“关联图形”是______；
②若直线y=kx−2不是点A的“关联图形”，求实数k的值；
(2)已知点E(m,0)，G(m+1,1)，以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若正方形EFGH是其自己的“关联图形”，直接写出m的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.C
6.C
7.C
8.D
9.2
10.9(不唯一)
11.10
12.20
13.a≤1
14. 5
15.8 5
16.2 2
17.解：x2−3x=−12，
x2−3x+94=94−12，
(x−32)2=74，
x−32=± 72，
所以x1=3+ 72，x2=3− 72．
18.(1)如图，△OA1B1即为所求．
(2)(−2,0)．
(3)2 2．
19.解：(1)∵A(m,1)B(2,n)两点在一次函数y=−12x−1的图象，
∴1=−12m−1，n=−12×2−1，
解得：m=−4，n=−2，
∴A(−4,1)，B(2,−2)在双曲线y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=−4，
∴反比例函数解析式为：y=−4x；
(2)在一次函数y=−12x−1中，当y=0时，x=−2，
∴C(−2,0)，
设P(a,0)，
∴S△APC=12×PC×yA=12×丨a+2丨×1=3，
∴丨a+2丨=6，
∴a+2=6或a+2=−6，
解得：a=4或−8，
∴P(4,0)或(−8,0)．
20.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−2(a−1)]2−4(a2−a−2)>0，
解得：a<3．
(2)∵x1+x2=2(a−1)，x1x2=a2−a−2，
∵x12+x22−x1x2=16，
∴(x1+x2)2−3x1x2=16，
∴[2(a−1)]2−3(a2−a−2)=16，
解得：a1=−1，a2=6，
∵a<3，
∴a=−1．
21.解：(1)当k=1时，一次函数解析式为y=x+b，把P(−1,−1)代入得：
−1=−1+b，
∴b=0，
∴一次函数解析式为y=x，
将反比例函数y=mx的图象向右移动三个单位后得到函数解析式为y=mx−3，
将点P坐标代入得−1=m−4，解得m=4，
∴反比例函数解析式为y=4x，
联立方程组y=xy=4x，解得x=2y=2或x=−2y=−2，
∴A(2,2)，B(−2,−2)．
(2)两函数图象如图：
∵反比例函数解析式为y=4x
∴当x=2时，y=2，
一次函数y=kx+b过点(2,2)，且过点P(−1,−1)
此时，k=1，
∴当x>2时，对于x的每一个取值，一次函数y=kx+b的值大于反比例函数y=mx的值，
k的取值范围为k≥1．

22.证明：(1)∵AE⊥BN，DF⊥BN，
∴AE//DF，
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BN，
∴四边形AEFD是矩形；
(2)∵四边形AEFD是矩形，
∴AD//EF，AD=EF，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
23.解：(1)探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x=kt，y=at2+bt，
由题意得：10=2k，4a+2b=1816a+4b=32，
解得：k=5，a=−12b=10，
∴x=5t，y=−12t2+10t，
(2)问题解决：(1)依题意，得−12t2+10t=0．
解得，t1=0(舍)，t2=20，
当t=20时，x=100．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为100m．
(3)设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y′=−12t2+10t+n，
∵105∴105<5t<110，
∴21在y′=−12t2+10t+n中，
当t=21，y′=0时，n=10.5；
当t=22，y′=0时，n=22．
∴10.5答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于10.5m且小于22m．
24.解：(1)∵m=n，
∴点(3,m)与(t+1,n)关于对称轴x=t对称，
∴3+t+12=t，
∴t=4．
(2)①如图1，当t<0时，当x=3时，m>c，不符合题意．
②当t=0时，c是最小值，不符合题意．
③如图2，当t>0时，
∵m∴3<2t，
∴t>32，
∵m>n，
∴点(3,m)到对称轴x=t的距离要大于点(t+1,n)到对称轴x=t的距离，
∴|3−t|>1，
当t>3时，t−3>1，
∴t>4，
当t<3时，3−t>1，
∴t<2，
综上得，t的取值范围为：324．
25.(1)解：如图1即为所求；
(2)证明：如图2，
作FN//AE，交AC于N，
∴∠EFN=∠AEF，∠ANF=∠CAE=α，
∵∠ADF=α，
∴∠ADF=∠ANF，
∴∠CAD=∠DFN，
∴∠DFE=∠DFN+∠EFN=∠CAD+∠AEF；
(3)解：如图2，
EM=FM，理由如下：
连接AF，
∵AB=AC，AD=DF，∠BAC=∠ADE=α，
∴∠C=∠ABC，∠DAF=∠AFD，
∴∠DAF=∠C，
由(2)知，
∠DAC=∠DFN，
∴点A、F、D、N共圆，
∴∠FND=∠DAF，
∴∠FND=∠C，
∴△FDN≌△ADC(AAS)，
∴FN=AC，
∵AC=AE，
∴AE=FN，
∵AE//FN，
∴∠EAM=∠FNM，∠AEM=∠MFN，
∴△AME≌△NMF(ASA)，
∴EM=FM．
26.(1)①B，C；
②设点K(0,a)，那么点A绕点K逆时针旋转90°得到点A′，
作AJ⊥y轴交y轴于J，作A′S∖ K⊥y轴交y轴于点K，如图所示，
由旋转可知，AT=A′T，∠ATA′=90°，
∵∠AJT=90°，
∴∠TAJ+∠ATJ=90°，
∵∠ATJ+∠A′TK=90°，
∴∠TAJ=∠A′TK，
∴△ATJ≌△A′KJ(AAS)，
∵A(−3,2)，
∴TJ=a−2=KA′，AJ=3=TK，
∴OK=TO−TK=a−3，
∴A坐标为(a−2,a−3)，
当a=2时，A′(0,−1)，
当a=3时，有A′(1,0)，
设点A在直线y=cx+d上运动，
代入(0,−1)和(1,0)，
解得：c=1，d=−1，
∴A′在直线y=x−1上运动．
∵直线y=kx−2不是点A的“关联图形”，
∴直线y=kx−2和直线y=x−1没有交点，
即两直线平行，
∴k=1．
(2)∵E(m,0)，G(m+1,1)，
∴H(m,1)，F(m+1,0)．
同(1)②，如图，可得点G(m+1,1)绕点K逆时针旋转90°得到点G′(a−1,a+m+1)，
且G′在y=x+m+2上运动，
设y=x+m+2在x轴的交点为Q，则Q点坐标为(−m−2,0).当y=x+m+2与正方形EFGH有唯一交点，即点F与Q重叠时，m取得最小值．此时，m+1=−m−2，
∴m=−32．
同(1)②，如图，可得点E(m,0)绕点K逆时针旋转90°得到点E′(a,a+m)，
且E′在y=x+m上运动，
当y=x+m与正方形EFGH有唯一交点，
即点H(m,1)在y=x+m上时，m取得最大值，
此时，1=m+m，
∴m=12．
综上所述，m的取值范围是−32≤m≤12．x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
…
y
…
m
1
−2
−3
n
1
6
…
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
18
32
42
48
…