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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义教学课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义教学课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了课前预习，课堂互动，分层训练，内容索引，知识探究，题型剖析，思维升华，课堂小结，素养提升等内容，欢迎下载使用。
理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法.
通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，发展直观想象、数学抽象及数学运算素养.
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点________.
(2)记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为___________.
复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部、虚部的对应：点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示.(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
1.思考辨析，判断正误(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )提示 原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数.(3)复数的模一定是正实数.( )提示 复数的模可以为0.(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( )提示 应该是充分条件.
2.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.
3.向量a＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是( )A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－2＋i
4.已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.
题型一 复数与复平面内的点
【例1】 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.
(3)由题意，得(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，∴2
【训练1】 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上？解 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
题型二 复数与复平面内的向量的关系
A.－10＋8i B.10－8iC.0 D.10＋8i
解析 由复数的几何意义，可得
A.－5＋5i B.－5－5iC.5＋5i D.5－5i
利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，将有些复数问题转化为向量问题处理，借助向量去解决复数问题.
解析 复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，
角度1 复数的模的计算【例3】 (1)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝( )
解析 由题意x＋xi＝2＋yi，
角度2 复数模的几何意义【例4】 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|＝2；解 (1)法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.法二 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
(2)1≤|z|≤2.
不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点Z的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.
解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.
∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为
当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为
一、牢记2个知识点1.复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.2.复数的模及几何意义.二、掌握2种方法1.待定系数法.2.数形结合法.三、注意1个易错点虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小.
一、选择题1.设z＝3＋4i，则复数z1＝z－|z|－(1－i)在复平面内的对应点在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
∴z1＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i＝－3＋5i.∴复数z1在复平面内的对应点在第二象限.
A.－2－i B.－2＋iC.1＋2i D.－1＋2i解析 ∵A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，
3.设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cs B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
4.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆解析 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3.∴复数z对应点的轨迹是1个圆.
5.(多选题)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为( )A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题6.复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝______，|z|＝________.解析 ∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴z＝2i，∴|z|＝2.
7.若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是__________________.
解析 ∵复数对应的点位于第三象限，
8.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，那么实数a的取值范围是________.
三、解答题9.设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；
解得m＝3(m＝－2舍去).故当m＝3时，z是实数.
(2)z对应的点位于复平面内的第二象限？
10.已知z1＝－3＋4i，|z|＝2，求|z－z1|的最大值和最小值.解 如图，|z|＝2表示复数z在复平面内对应的点在以(0，0)为圆心，2为半径的圆上，而z1在复平面内的对应点的坐标为(－3，4)，∴|z－z1|可看作是点(－3，4)到圆上的点的距离.
11.(多选题)已知z1，z2是复数，以下结论错误的是( )A.若z1＋z2＝0，则z1＝0，且z2＝0B.若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0，且z2＝0
解析 A中z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2；B中|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0；
12.复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹方程是_____________________.
(x＋1)2＋(y－2)2＝9
即(x＋1)2＋(y－2)2＝9，即为所求轨迹方程.
13.已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.解 设复数z＝a＋bi(a，b∈R).∵f(z)＝|2＋z|－z，∴f(－z)＝|2－z|＋z.又∵f(－z)＝3＋5i，∴|2－z|＋z＝3＋5i，∴|2－(a＋bi)|＋a＋bi＝3＋5i.
根据复数相等的充要条件，
∴复数z＝－10＋5i.
14.(多选题)下面四个命题中为真命题的是( )
理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法.
通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，发展直观想象、数学抽象及数学运算素养.
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点________.
(2)记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为___________.
复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部、虚部的对应：点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示.(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
1.思考辨析，判断正误(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )提示 原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数.(3)复数的模一定是正实数.( )提示 复数的模可以为0.(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( )提示 应该是充分条件.
2.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.
3.向量a＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是( )A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－2＋i
4.已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.
题型一 复数与复平面内的点
【例1】 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.
(3)由题意，得(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，∴2
【训练1】 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上？解 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
题型二 复数与复平面内的向量的关系
A.－10＋8i B.10－8iC.0 D.10＋8i
解析 由复数的几何意义，可得
A.－5＋5i B.－5－5iC.5＋5i D.5－5i
利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，将有些复数问题转化为向量问题处理，借助向量去解决复数问题.
解析 复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，
角度1 复数的模的计算【例3】 (1)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝( )
解析 由题意x＋xi＝2＋yi，
角度2 复数模的几何意义【例4】 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|＝2；解 (1)法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.法二 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
(2)1≤|z|≤2.
不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点Z的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.
解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.
∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为
当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为
一、牢记2个知识点1.复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.2.复数的模及几何意义.二、掌握2种方法1.待定系数法.2.数形结合法.三、注意1个易错点虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小.
一、选择题1.设z＝3＋4i，则复数z1＝z－|z|－(1－i)在复平面内的对应点在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
∴z1＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i＝－3＋5i.∴复数z1在复平面内的对应点在第二象限.
A.－2－i B.－2＋iC.1＋2i D.－1＋2i解析 ∵A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，
3.设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cs B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
4.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆解析 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3.∴复数z对应点的轨迹是1个圆.
5.(多选题)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为( )A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题6.复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝______，|z|＝________.解析 ∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴z＝2i，∴|z|＝2.
7.若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是__________________.
解析 ∵复数对应的点位于第三象限，
8.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，那么实数a的取值范围是________.
三、解答题9.设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；
解得m＝3(m＝－2舍去).故当m＝3时，z是实数.
(2)z对应的点位于复平面内的第二象限？
10.已知z1＝－3＋4i，|z|＝2，求|z－z1|的最大值和最小值.解 如图，|z|＝2表示复数z在复平面内对应的点在以(0，0)为圆心，2为半径的圆上，而z1在复平面内的对应点的坐标为(－3，4)，∴|z－z1|可看作是点(－3，4)到圆上的点的距离.
11.(多选题)已知z1，z2是复数，以下结论错误的是( )A.若z1＋z2＝0，则z1＝0，且z2＝0B.若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0，且z2＝0
解析 A中z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2；B中|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0；
12.复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹方程是_____________________.
(x＋1)2＋(y－2)2＝9
即(x＋1)2＋(y－2)2＝9，即为所求轨迹方程.
13.已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.解 设复数z＝a＋bi(a，b∈R).∵f(z)＝|2＋z|－z，∴f(－z)＝|2－z|＋z.又∵f(－z)＝3＋5i，∴|2－z|＋z＝3＋5i，∴|2－(a＋bi)|＋a＋bi＝3＋5i.
根据复数相等的充要条件，
∴复数z＝－10＋5i.
14.(多选题)下面四个命题中为真命题的是( )
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