江苏省常州市教科院附属高级中学2024-2025学年高三上学期期初调研数学试卷

这是一份江苏省常州市教科院附属高级中学2024-2025学年高三上学期期初调研数学试卷，共17页。试卷主要包含了08等内容，欢迎下载使用。

数 学 试 卷
命题人：xxx 审卷人：xxx 2024.08
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．C．D．
2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4，3)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋2α))的值为( )
A. － eq \f(24,25) B. － eq \f(7,25) C. eq \f(7,25) D. eq \f(24,25)
3．已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）
A．100B．230C．130D．365
5. 已知sin (α－β)＝ eq \f(1,3)，csαsin β＝ eq \f(1,6)，则cs (2α＋2β)的值为( )
A. eq \f(7,9) B. eq \f(1,9) C. － eq \f(1,9) D. － eq \f(7,9)
6．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
7．已知函数是R上的偶函数，且，当时，，函数f（x）在区间的零点个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．已知函数满足，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
10.下列式子中，结果为 eq \r(3)的是( )
①tan 25°＋tan 35°＋ eq \r(3) tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cs 25°＋cs 35°cs 65°)；
③ eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)； ④ eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°).
A. ① B. ② C. ③ D. ④
11. 已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A. f(x)＝x2 B. f(x)＝e－x C. f(x)＝ln x D. f(x)＝tan x
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 .
13．已知函数的图象与直线在上有个交点，则实数的取值范围为 ．
14．已知函数其中，，的部分图象如下图所示，若在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为 ．

四、解答题：本题共5小题，共77分．除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知α，β均为锐角，且sin α＝ eq \f(3,5)，tan (α－β)＝－ eq \f(1,3).求：
(1) sin (α－β)的值；
(2) cs β的值．
16．（本题满分15分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.
17．（本题满分15分）已知三棱锥平面，为的中点，为延长线上一点.

(1)证明：；
(2)当二面角余弦值大小为时，求的长.
18．（本题满分17分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围；
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.
19．（本题满分17分）设为大于3的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们称数列为数列的一个数列．
(1)若数列为，写出所有的数列；
(2)如果数列公差为，证明：；
(3)记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的数列”的概率为，证明：1．B
【分析】根据已知求出集合，再结合交集并集及集合的关系判断选项即可.
【详解】,,,A选项错误；
，B选项正确；D选项错误；
，C选项错误；
故选：B.
2． B 解析：由题意，得cs α＝－ eq \f(4,5)，所以sin ( eq \f(3π,2)＋2α)＝－cs 2α＝1－2cs2α＝1－2× eq \f(16,25)＝－ eq \f(7,25).
3．C
【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.
【详解】依题意，在上的投影向量为，则，
于是，而，则，
所以向量与向量的夹角为.
故选：C
4．B
【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指数对数的关系及换底公式计算可得.
【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，
此时“进步值”为，“退步值”为，即，
所以，则，
所以天．
故选：B
6．B
【分析】根据函数由复合而成，结合复合函数的单调性判断在区间上是增函数，即可求得答案.
【详解】由题意知函数由复合而成，
在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，
可知在区间上是增函数，故，
即实数的取值范围是，
故选：B
7．C
【分析】根据的对称轴和对称中心，结合函数的图象即可判断的零点个数.
【详解】因为函数是R上的偶函数，所以，
所以关于直线对称，
因为，时，
由，当时，，故，
又关于直线对称，所以，
由对称性可得在上的大致图象如下图所示，
则在区间的零点个数为9.
故选：C.
8．D
【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即可求解.
【详解】取代入，
得即，由题解得，
令代入得，
故，
所以是周期为6的周期函数，
又，，所以，
所以，
故选：D.
【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解.
9．AC
【分析】利用期望与方差的性质结合正态分布的性质计算一一判定选项即可.
【详解】A选项：，故A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：由正态分布密度曲线知其关于对称，
利用对称性知，故C正确；
D选项：因为，
所以，，故D错误.
故选：AC
10、ABC 解析：对于①，tan 25°＋tan 35°＋ eq \r(3)·tan 25°tan 35°＝tan (25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ eq \r(3)tan 25°tan 35°＝ eq \r(3)；对于②，2(sin 35°cs 25°＋cs 35°cs 65°)＝2(sin 35°cs 25°＋cs 35°sin 25°)＝2sin 60°＝ eq \r(3)；对于③， eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝ eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan 60°＝ eq \r(3)；对于④， eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝ eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 45°tan 15°)＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3).故选ABC.
11、AC 解析：若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝ eq \f(1,x)，令ln x＝ eq \f(1,x)，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝ eq \f(1,x)的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝( eq \f(sin x,cs x))′＝ eq \f(1,cs2x)，令tanx＝ eq \f(1,cs2x)，化简，得sinx cs x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.
12．
【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得.
【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为；
则曲线在处的切线为，
显然，设切点，
由，解得.
故答案为：2
13．
【分析】对函数求导，联系余弦函数在上的单调性分析导函数的正负，由此得到函数的单调性，数形结合即可求解.
【详解】
函数的导函数为，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，在上，当时，取得极大值为，当时，极小值为；
在上，当时，取得极大值为，当时，极小值为
所以函数的图象与直线在上有个交点，则实数的取值范围为，
故答案为：
14．
【分析】由图像可求出函数，然后根据求解函数的零点存在的值并结合区间上只有两个零点，从而求解.
【详解】由图象对称性可知，函数的图象与轴正半轴第一个交点的横坐标为，
由图可知为其对称轴，则，解出，
由于，故，，则，，因为，所以，
于是，由于，故，因此，
易知，
因为在，上有且仅有两个零点，所以.
故答案为：
15、. (1) 因为α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以－ eq \f(π,2)<α－β< eq \f(π,2).
又因为tan (α－β)＝－ eq \f(1,3)<0，
所以－ eq \f(π,2)<α－β<0，
所以sin (α－β)＝－ eq \f(\r(10),10).
(2) 由(1)，得cs (α－β)＝ eq \f(3\r(10),10).
因为α为锐角，且sin α＝ eq \f(3,5)，所以cs α＝ eq \f(4,5)，
所以cs β＝cs [α－(α－β)]＝ eq \f(4,5)× eq \f(3\r(10),10)＋ eq \f(3,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝ eq \f(9\r(10),50).
16．(1)
(2)该球取自乙箱的可能性更大
【分析】
（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；
（2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论.
【详解】（1）
记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则，
由全概率公式得： .
（2）
该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
该球是取自甲箱的概率
该球取自乙箱的概率
因为所以该球取自乙箱的可能性更大.
17．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法建立方程，求解参数即可.
【详解】（1）因为平面平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为面，所以，又因为为的中点，，
所以，因为，平面，
所以平面，因为平面，所以；
（2）
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
设，
取平面的法向量，
设平面的法向量，
因为，
由，则，令，解得，
所以，由，
得，解得或，故或.
18．(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得；
（2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围；
（3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，
当时，时，时，；
当时，时，；
当时，时，；时；
当时，时；时；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
（2）令得，
设，则，
当时，在上递减；当时，在上递增，
则.
又因时，时，作出函数的图象，
由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使，
即，故的取值范围是.
（3）由得，
因，即得，（*），
易得时，不等式成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立；
当时，设，
则方程有两根，，可得
当时，，则，在上单调递减；
又，所以当时，，不满足条件，
综上，的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题.
对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立.
19．(1)2，3，1，4；3，2，4，1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“数列”的定义求解即可；
（2）由题知，为的最大值或最小值的一个排列，则有为的最大值或最小值的一个排列，分类讨论即可证明；
（3）由（2）知，数列任意元子集必存在2个数列，则任意取项的排列数为，而为数列的数列的个数为，所以．
【详解】（1）由数列的定义知，的数列为：2，3，1，4；3，2，4，1．
（2）对于项的数列一个数列，
因为对于，均有，
所以，
所以不是所有项中的最大值或最小值，
所以为的最大值或最小值的一个排列，
考虑中去掉后的数列，
同理若数列为数列的一个数列，
则有为的最大值或最小值的一个排列，
以此类推，当时，
①若为最大值，则为最小值，则，
所以，；
②若为最大值，则为最小值，则，
所以，，
综上，．
（3）由（2）知，数列任意元子集必存在2个数列，
因此任意取项的排列数为，而为数列的数列的个数为，
所以，
因为，
所以，，
所以．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解数列的定义，证明第（2）问中，由定义得出所以，且为的最大值或最小值的一个排列是解题关键；证明（3）时，得出数列任意元子集必存在2个数列是解题关键．