湖南省衡阳县第四中学2024届高考考前冲刺卷（三）数学试题

这是一份湖南省衡阳县第四中学2024届高考考前冲刺卷（三）数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，函数fx=Asinωx+φ等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A=x-1≤x0，即函数V=43πr13+43π3-32-r13在3-34,12上单调递增.
当r1=2-32时，3-32-r1=12，
所以，V2-32=V12=43π⋅123+43π⋅2-323 =9-53π2.
又V3-34=9-53π4，
所以，函数V=43πr13+43π3-32-r13的最大值为9-53π2.
故选：B.
6．【答案】A
【解析】在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA，且△ABC的面积S=12bcsinA，
由3S=a2-b-c2，得32bcsinA=2bc-2bcsA，化简得3sinA+4csA=4，
又A∈0,π2，sin2A+cs2A=1，联立解得sinA=2425，csA=725，
所以bc=sinBsinC=sinA+CsinC=sinAcsC+csAsinCsinC=2425tanC+725，
△ABC为锐角三角形，有00，
因为函数f(x)=lnx+x+2ax在x∈[2,+∞)上单调递增，
所以f'x≥0在x∈[2,+∞)上恒成立，即x2+x-2a≥0在x∈[2,+∞)上恒成立，
分离参数可得a≤x2+x2，即a≤x2+x2min，
令gx=x2+x2，
则gx=12x+122-18，在-12,+∞上单调递增，
因为x≥2，所以gxmin=g2=3，
所以a≤3，所以实数a的取值范围是(-∞,3].
故答案为：(-∞,3].
13．【答案】32/1.5
【解析】不妨设Ax0,y0x0>0,y0>0，则x02a2-y02b2=1，
3(2a+c)b=122x0+2cy0=x0+cx02a2-1b，解得x0=2a，
所以|AB|=4a，又△F2AB的周长为10a，所以F2A+F2B=6a，
根据对称性，F2B=F1A，所以F2A+F1A=6a，
根据双曲线定义，F1A-F2A=2a，解得F1A=4a，
根据勾股定理，F1A2=(2a+c)2+(3b)2，即(3a-2c)(5a+2c)=0，
所以3a-2c=0，即e=ca=32．
故答案为：32
14．【答案】163π
【解析】因为∠AOC=∠BOD=π3，所以∠DOC=π-2×π3=π3，
设圆的半径为R，又S扇形COD=12×π3R2=2π，解得R=23（负值舍去），
过点C作CE⊥AB交AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB于点F，

则CE=OCsinπ3=3，OE=OCcsπ3=3，
所以AE=R-OE=3，同理可得DF=3，OF=BF=3，
将扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径R=23的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，
其中球缺的高h=3，圆锥的高h1=3，底面半径r=3，
则其中一个球缺的体积V1=13πh23R-h=13π×323×23-3=53π，
圆锥的体积V2=13π×32×3=33π，球的体积V3=43πR3=43π×233=323π，所以几何体的体积V=V3-2V1-2V2=163π.
故答案为：163π.
15．【解析】（1）由条件cs2B+cs2C-cs2A=1-sinBsinC知
1-sin2B+1-sin2C-1+sin2A=1-sinBsinC，
此即sinBsinC=sin2B+sin2C-sin2A，故由正弦定理得bc=b2+c2-a2，
再由余弦定理知csA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，
且A∈0,π，所以A=π3.
（2）由∠BAD=∠CAD，∠ADB+∠ADC=180°，
结合正弦定理得BDCD=BDsin∠BADCDsin∠CAD=ABsin∠ADBACsin∠ADC=ABAC=cb，
而BD+CD=a，故BD=acb+c，CD=abb+c.
由于183=S△ABC=12AD⋅BCsin∠ADB=23asin∠ADB，故asin∠ADB=9.
所以c=AB=ABsin∠ADBsin∠ADB=BDsin∠ADBsin∠BAD=acb+csin∠ADBsinπ6=9cb+c12=18cb+c，故b+c=18.
而183=S△ABC=12bcsinA=12bcsinπ3=34bc，故bc=72.
所以a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-bc=b+c2-3bc=182-3×72=108.
故a=63.
16．【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，则
4a1+6d=42a1+da1+2n-1d=2a1+2n-1d+1，解得a1=1d=2，
所以an=1+n-1×2=2n-1；
（2）由（1）知，a1=1， an=2n-1，
所以Sn=na1+an2=n1+2n-12=n2；
（3）因为bn=3n-1，an=2n-1，所以cn=anbn=2n-13n-1，
Tn=130+331+532+⋯+2n-33n-2+2n-13n-1①，
13Tn=131+332+533+⋯+2n-33n-1+2n-13n②，
①-②得
23Tn=130+231+232+⋯+23n-1-2n-13n=1+2×131-13n-11-13-2n-13n=2-2n+23n，
所以Tn=3-n+13n-1.
17．【解析】（1）连结AC，BD交于点O，连PO，
由PA=PC，PB=PD=210
知PO⊥AC,PO⊥BD，
又AC∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD
又底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD
以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示∠DAB=60°，边长为4，则OD=OB=2，OA=OC=23
在直角三角形BOP中，PB=210所以OP=6
所以点O(0,0,0),P(0,0,6),B(2,0,0),D(-2,0,0),C(0,23,0)
PC=4MC，则M0,332,32
所以PC=(0,23,-6),DM=2,332,32,BM=-2,332,32，
所以PC⋅DM=0×2+23×332+(-6)×32=0，
PC⋅BM=0×-2+23×332+-6×32=0，
所以PC⊥DM,PC⊥BM，
所以PC⊥DM,PC⊥BM，
又DM∩BM=M，DM,BM⊂平面BDM，
所以PC⊥平面BDM，
（2）设DE=λDM，
所以DE=λDM=2λ,332λ,32λ，
故E2λ-2,332λ,32λ，
所以BE=2λ-4,332λ,32λ
平面ABCD的一个法向量是n=(0,0,1)，
设BE与平面ABCD所成角为θ，则
sinθ=csBE,n=BE⋅nBE⋅n=32|λ|(2λ-4)2+332λ2+32λ2=32|λ|13λ2-16λ+16
当λ=0时，BE⊂平面ABCD，θ=0；
当λ≠0时，
sinθ=32|λ|13λ2-16λ+16=3213-16λ+16λ2=3216×1λ-122+9≤12，
当且仅当λ=12时取等号，
又θ∈0,π2所以θ≤π6，
故BE与平面ABCD所成角的最大值为π6

18．【解析】（1）剔除第10天数据的(y)新=19i=19yi=2.2×10-0.49=2.4，
(t)新=1+2+3+4+5+6+7+8+99=5，
i=19tiyi新=118.73-10×0.4=114.73，i=19ti2新=385-102=285，
所以b=i=19xiyi新-9(t)新⋅(y)新i=19ti2新-9(t)新2=114.73-9×5×2.4285-9×52=6736000，
故a=2.4-6736000×5=22071200，所以y=6736000t+22071200．
（2）由题意可知Pn=25Pn-1+35Pn-2(n≥3)，
其中P1=25,P2=25×25+35=1925，
所以Pn+35Pn-1=Pn-1+35Pn-2(n≥3)，
又P2+35P1=1925+35×25=1，
所以Pn+35Pn-1是首项为1的常数列，故Pn+35Pn-1=1(n≥2)，
所以Pn-58=-35Pn-1-58(n≥2)，又P1-58=25-58=-940，
所以Pn-58是以首项为-940，公比为-35的等比数列，
故Pn-58=-940⋅-35n-1，即Pn=-940⋅-35n-1+58=58+38⋅-35n.
（3）①当n为偶数时，Pn=58+38⋅-35n=58+38⋅35n>58单调递减，最大值为P2=1925；
当n为奇数时，Pn=58+38⋅-35n=58-38⋅35n0总存在正整数N0=lg3583ε+1，（其中[x]表示取整函数），
当n>lg3583ε+1时，Pn-58=38⋅-35n=38⋅35n0时，即lnx+1+10.
故fx∈-∞,-e∪0,+∞.
另一方面，设gx=x+1lnx+1.
对a∈-∞,-e，有g1e-1=-1e≤1a1b+3ln3>1b+3>1b>0=g0，所以存在v∈0,1b+2使得gv=1b，即fv=b.
综上，函数fx的取值范围为-∞,-e∪0,+∞．
（3）因为x∈-1,0，所以x+1∈0,1，从而1x+1>1
在不等式21x+1>(x+1)m两边同时取自然对数可得：m>ln2x+1lnx+1对x∈-1,0恒成立，
即m大于ln2x+1lnx+1在x∈-1,0时的最大值.
由（2）可知，此时ln2x+1lnx+1在x=1e-1处取得取得最大值-eln2，
所以m的取值范围是m>-eln2．日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y（千张）
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4