浙江省宁波外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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2．请将班级、姓名等分别填写在答题卷的规定位置上．
3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．
试题卷Ⅰ
一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分）
1. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为零求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，解得，
故选：A．
2. 若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系、解一元一次不等式组，根据三角形的三边关系，分情况列不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
故选：B．
3. 如图，在中，分别是上的点，且，若，则（ ）°
A. 66B. 92C. 96D. 98
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，即，同理得出，因为，运用平角性质算出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平角，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
【详解】解：，
，
如图：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在中，
故选：B．
4. 如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，作轴，证是解题关键．
【详解】解：作轴，如图所示：
令，则；令，则；
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴点的坐标是
故选：D
5. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
不等式组无解，
，
故选：B
6. 对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A. 分式方程的增根是或B. 若分式方程有增根，则
C. 若分式方程无解，则或D. 分式方程的增根是
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可．
【详解】解：∵的公分母是
∴
∴
∴
方程两边同时乘上
得
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则
∴
则或
故C是正确的；
故选：A
7. 如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（ ）
A. B. C. D. 无解
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即可求解．
【详解】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方，
∴不等式组的解为，
故选：A．
8. 如图，在中是上的一点，，点是的中点．设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A. 2B. 4C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则，，然后利用即可得到答案．
【详解】解：，
，
点是的中点，
，
，
即，
．
故选：B．
9. 如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的点处，折痕与交于点，若，则折痕的长为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查图形翻折变换，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据题意得到，设，则，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由翻折而成，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，则，
设，则，
在中，，
即，
解得．
故选B．
10. 如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
【详解】解：当时，
；
在中，，
当，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
；
情况二：
，
，
，
为等边三角形，
；
故选C．
二、填空题：（本题共6小题，每题3分，共18分）
11. 将点关于轴对称后再向左平移个单位，其对应点落在轴上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案．
【详解】解：点关于轴对称的点为2,3，
根据“左减右加”，
得到点的坐标为，
对应点落在轴上，
解得．
故答案为：．
12. 已知方程组的解满足方程，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．方程组中两方程相加表示出，代入已知方程即可求出答案．
详解】解：，
①②得：．
，
，
解得．
故答案为：．
13. 若且，则的值为________
【答案】-7或6
【解析】
【分析】由x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，即可求得x2+2xy+y2+x+y=42，则变形得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．
【详解】解：∵x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，
∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42，
∴（x+y）2+（x+y）-42=0，
∴（x+y+7）（x+y-6）=0，
∴x+y+7=0或x+y-6=0，
解得：x+y=-7或x+y=6．
故答案为-7或6.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，将（x+y）2+（x+y）-42正确因式分解是解答本题的关键.
14. 如图，，点在边上，与交于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定即可判断；，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数；本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
【详解】解：和相交于点，
．
在和中，
∵，
．
又，
，
．
在和中，
，
．
，．
在中，
，，
，
．
故答案为：
15. 如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可求出答案．本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
【详解】解：，，
是的中线，，
是的中点，
是的中位线，
设，
，
，点是的中点，点是的中点，
，，
的周长为8，
，
，
，
由勾股定理可知：，
故答案为：
16. 如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．要求的最小值及使最小，根据垂线段最短得到时，最短，根据勾股定理得到，即可得到答案．
【详解】解：要求的最小值及使最小，
时，最短，
在是边长为的等腰直角三角形中，
，
根据等面积法：
，
解得
的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共52分，17、18每题6分，19、20每题8分，21题10分，22题14分）
17. 解分式方程和不等式组
（1）
（2）解不等式组并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）
（2），见详解
【解析】
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）先求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．
【小问1详解】
解：
经检验：是原分式方程的解．
【小问2详解】
解：
由①得：，
由②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
18. 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形．
（1）请在图甲中作一个格点三角形，使是一个面积为2的等腰三角形．
（2）请在图乙中仅用无刻度的直尺，作出的平分线（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算即可；
（2）连接，取中点，根据等腰三角形的性质画图即可．
【小问1详解】
解：根据等腰三角形的性质，；
；
【小问2详解】
解：连接，取中点，
根据题意得：，
，
故平分．
．
19. 某产品的商标如图所示，O是线段AC、DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小林认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：
∵ AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，
∴ △ABO≌△DCO．
你认为小林的思考过程对吗？
如果正确，指出他用的是哪个判别三角形全等的方法；如果不正确，写出你的思考过程
【答案】小华的思考不正确；理由见解析．
【解析】
【分析】显然小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边．我们可以连接BC，先利用SSS判定△ABC≌△DBC，从而得到∠A=∠D，然后再根据AAS来判定△AOB≌△DOB．
【详解】解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边；
正确的解答是：连接BC，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
∴∠A=∠D，
在△AOB和△DOC中，
∵，
∴△AOB≌△DOC（AAS）．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
20. 在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且，
（1）求的面积；
（2）求经过点且平分面积直线解析式．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、求一次函数的解析式、三角形的中线性质、坐标与图形等知识，熟知三角形的中线平分该三角形的面积是解答的关键．
（1）先求得点A的坐标，再根据坐标与图形和三角形的面积公式求解即可；
（2）先求得点P坐标，然后根据三角形中线平分该三角形的面积得过点P的直线经过线段的中点，利用中点坐标公式求得中点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式即可．
【小问1详解】
解：将代入，得，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，点P在x轴的负半轴，
∴；
∵经过点的直线平分面积，
∴该直线经过线段的中点，
∵，
∴线段的中点坐标为，
设该直线的解析式为，
将、代入，得，解得，
∴经过点且平分面积的直线解析式为．
21. 学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍．
（1）求A，B两种水杯的进价分别是多少元．
（2）学校超市计划按（1）题的进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润．
【答案】（1）每个A种水杯的进价为25元，每个B种水杯的进价为20元；
（2）满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
（1）设每个A种水杯的进价为a元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购进A种水杯x个，根据题意列不等式组得到x的取值范围，设利润为W元，根据题意，得，根据一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；
【小问2详解】
解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯90-x个，
根据题意，得，
解得，
，
设利润为W元，根据题意，
，
∵，
∴W随x的增大而减小，又x为整数，
∴当时，W最大，最大值为，
答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．
22. 在平面直角坐标系中，是轴上一点，是轴上一点，
（1）若，判断的形状．
（2）在（1）的条件下，延长至，使，求点的坐标．
（3）在（2）条件下，点是轴上的动点，若为等腰三角形，直接写出点的坐标．
（4）如图，若平分的横坐标为，探究与的数量关系．
【答案】（1）直角三角形
（2）
（3）或或或
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查两点间的坐标公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据两点间坐标公式求出的长，根据勾股定理逆定理计算即可；
（2）过点作轴，证明，即可求出点的坐标；
（3）根据等腰三角形的性质分类讨论即可；
（4）过点作轴，根据全等三角形的判定证明，再根据勾股定理证明与的数量关系．
【小问1详解】
解：由题意可得：，，，
，
是直角三角形；
【小问2详解】
解：过点作轴，
由（1）可得，中，
，
在和中，
；
【小问3详解】
解：设点为，
①当时，
，
解得，（舍去），
此时；
②当时，，
解得或；
此时或，
③当时，即，
，
解得，
此时；
综上所述，或或或；
【小问4详解】
解：过点作轴，
中，
，，
，
在和中，
，
，，
，
由题意可得：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．