新疆石河子第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考（开学考试）数学试题（开学考试+开学考试）

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1 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，则角的大小为（ ）
A. B. C. 或D.
4. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A 若，，则，B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
5. 现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：)
A. 2700年B. 3100年
C. 3500年D. 3900年
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知中，，，AD为BC上的高，垂足为，点为AB上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为R，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是奇函数
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确是（ ）
A. 数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B. 投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是．
C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D. 若样本，，…，平均数和方差分别为2和3，则，，…，的平均数和方差分别为8和27
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，且，
B. 已知正数、满足，则的最小值为
C. 若，则的最大值是
D. 若，，，则的最小值是
11. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（ ）
A. 若为中点，则平面
B. 若为中点，则平面
C. 不存在点，使得
D. PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若平面向量，，且，则__________.
13. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，则该几何体的体积为__________．
14. 在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

（1）求第七组的频率，并估计该校的800名男生的身高的中位数；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求．
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，，求a的值．
17. 已知函数，图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
（1）求函数的单调递增区间：
（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
18. 如图， 在三棱锥 中， 的中点分别为 ，点在上，．
（1）证明： 平面；
（2）证明： 平面；
（3）求长，并求直线PA和平面所成角的正弦值．
19. “难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：
测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：
（1）根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；
（2）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量， 若，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理．
（3）聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为，明明选题时聪聪得分的概率为，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率 .试卷序号i
1
2
3
4
5
考前预估难度系数
0.7
0.64
0.6
0.6
0.55
试卷序号i
1
2
3
4
5
平均分/分
102
99
93
93
87