江西省宜春市上高二中2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域求集合A，根据一元二次不等式解法求集合B，利用并集概念运算即可.
【详解】由，得，即，
由，得或，即，
所以.
故选：B.
2. “”的一个充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质，利用充分条件逐项判断即可.
【详解】解：由，即，所以
对选项A，当，时，，但不满足，故A不正确，
选项B，由，则，
则或，故B项不正确，
选项C，，
则或，故C不正确，
选项D，由知，
所以，成立，故D正确，
故选：D.
3. 已知函数 ，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：或
考点：函数求值
4. 某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A. 120B. 144C. 177D. 192
【答案】A
【解析】
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解
【详解】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为
即
由容斥原理：
解得：
故选：A
5. 在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A. 10000B. 10480C. 10816D. 10818
【答案】C
【解析】
【分析】设矩形场地的长为米，则，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】设矩形场地的长为米，则宽为米，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以平整这块场地所需的最少费用为元.
故选：C
6. 已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化，解之即可.
【详解】因为点在直线上，
所以，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
因为关于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以.
故选：A
7. 已知函数满足，，则下列说法正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用换元法求出，再用代入法即可解出答案．
【详解】设，则，∴，．
由，有，即，∴．
故选：D
8. 已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当x=-1时，；当x=1时，．

设，则原方程化为，
∵方程有8个相异实根，
∴关于的方程在上有两个不等实根．
令，．
则，解得．
∴实数的取值范围为．选D．
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的定义域为，则实数的取值可能是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定的函数有意义可得不等式对一切实数恒成立，再分类讨论即可判断作答.
【详解】因函数的定义域为，于是得，不等式成立，
当时，恒成立，则，
当时，必有，解得，
综上得：，显然，选项A，B，C都满足，选项D不满足.
故选：ABC
10. 已知，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.
【分析】由，得，所以，A正确．
因为，所以，所以0，所以，B正确．
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，C正确．
因，所以，D错误．
故选：ABC．
11. 定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（ ）
A.
B. 数列的前项和为
C. 数列的前项和与数列的前项和相等
D. 数列的前项和为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由递推关系可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，从而可得，再结合等比数列的求和公式，即可判断ABC，再由裂项相消法代入计算，即可判断D
【详解】由可得，且，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，即，
则，所以，故A正确；
因为，由等比数列的求和公式可得该数列的前项和为，故B错误；
因为，，这两个数列的通项公式相同，
则其前项和相等，故C正确；
因为，则，
则其前项和
，
且当时，取得最小值为，所以，故D正确；
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的最小值为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】先求定义域,再利用复合函数单调性即可判断出单调区间,进而求解最小值.
【详解】函数的定义域为.
由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增.
而.所以,函数的最小值为1.
故答案为:1.
13. 已知命题，，且为真命题时的取值集合为．设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】化简命题，结合条件列不等式可求的范围.
【详解】依题意，关于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值的集合．
因为是的必要不充分条件，
所以为的真子集．
又为非空集合，
所以， 得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
14. 已知l，P分别是抛物线的准线与抛物线上一动点，定点，于，且恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的定义得，即当三点共线时取得最小值，把转化为，解出实数的取值范围即可.
【详解】抛物线焦点，准线方程为，由抛物线的定义可知PM=PF，
∴，即当三点共线时取得最小值，所以最小值为，
所以等价于.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15. 在中，内角、、的对边分别为、、.已知，.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得；
（2）利用余弦定理可得，再利用面积公式可求得面积.
【小问1详解】
由，
可得，
又，
即，
所以，
又，所以；
【小问2详解】
在中，由余弦定理可知，
则，即，
解得或，
所以，或.
16. 如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点．
（1）证明：平面；
（2）当二面角的大小为时，求线段的长度．
【答案】（1）证明详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，再根据线面垂直的判定定理证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程来求得点的坐标，进而求得的长度.
【小问1详解】
依题意，所以，
所以，所以，则，
由于平面，平面，所以，
由于平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）可知两两相互垂直，由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，设，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
依题意，二面角的大小为，
所以，
整理得，
解得或（舍去），所以，
所以.
17. 健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：
（1）试根据小概率值的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
，其中.
【答案】（1）周平均锻炼时长与年龄有关联
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）首先求出周平均锻炼时长少于4小时、不少于4小时人数，依题意所有可能的取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【小问1详解】
零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
由列联表中的数据计算，50岁以下周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为和，
由列联表中的数据计算，50岁以上（含50）周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为和，
因为，所以50岁以上（含50）周平均锻炼时长不少于4小时的比率比50岁以下高出15个百分点，
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.
小问2详解】
抽取的10人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，
不少于4小时的有人，
所以所有可能的取值为，
所以，，，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
【小问1详解】
当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
解法一：因为的定义域为R，且，
若，则对任意x∈R恒成立，
可知在R上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在0,+∞内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为1,+∞；
解法二：因为的定义域为R，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在0,+∞内单调递增，
可知在0,+∞内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为1,+∞.
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用点在椭圆上及四边形面积，结合待定系数法求出.
（2）联立直线与椭圆的方程，求出结合韦达定理求解即得.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为，依题意，，则，
四边形为平行四边形，其面积，得，即，
联立解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
存在.
由消去得，
当时，恒成立，
设，则，
，
则
当，即时，为定值，所以.
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7879
10.828
1
2
3
4
5