湖南省永州市第八中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间: 120分钟 试卷满分: 120分）
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效.
3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷
一选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 2024的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2024
2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2023年全国粮食播种面积 17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%.将数17.85亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
5. 如图，DE是∠BDC的平分线，若， ，则∠2=（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在△ABC中，，以A为圆心，任意长为半轻画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E.已如，的面积为（ ）

A. 6B. 9C. 12D. 18
7. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A. 中位数为1
B. 从1，1，4，5， 1， 4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大
C. 众数是1
D. 平均数为
8. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A. B. C. 23D. 1
9. 如图，在矩形中，.对角线与相交于点，， 垂足为，，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 2
10. 若三条长度分别为的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（ ）
①一定是三角数组 ；②不一定是三角数组；
③一定三角数组；④不一定是三角数组；
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
第II卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________
12. 分解因式： ___________.
13. 不等式组的解集是__________
14. 若关于的分式方程有增根，则的值是_________ .
15. 设是方程的两个实数根，则的值为 _________
16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， ⊙O是ABC的外接圆，点A， B， O在网格线的交点上，则的值是_______
17. 如图，反比例函数的图象经过 对角线的交点P，已知点A， C，D在坐标轴上，，的面积为16，则____
18. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”.观察下列勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25 ；. ... 这类勾股数的特点是:勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如: 6，8，10；8，15，17；. ..若此类勾股数的勾为10，则其弦是 _______________
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、 23题每题8分，第24、 25题每题10分，第26题12分，共66分）
19. 计算:
20. 先化简，后计算:，其中a是满足条件的合适的非负整数.
21. 如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，支撑杆于点，且，从点B观测点D的仰角为45°，又测得米.

（1）求该支架的边的长；
（2）求支架的边的顶端点D到地面的距离（结果保留根号）
22. 4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图
（1） ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为
（3）若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数.
23. 为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐.近年来，长沙某镇依托地域优势创办了优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A， B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元.
（1）问葡萄种植基地销售的A， B两种葡萄每千克的售价各是多少元?
（2）某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过3600元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总利润最大?最大总利润为多少元?
24. 如图，已知的内接锐角三角形中，所对的边分别记作.

（1）如图①，若在直径延长线上取一点，使，求证: 是的切线；
（2）如图①，在（1）的条件下，若，，求的长度;
（3）如图②，若设的半径为，求证：.
25. 定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”.
（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是
A. 平行四边形B. 矩形C. 正方形D. 菱形
（2）如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H.
①试判断四边形否为“等补四边形"并说明理由；
②如图2，连接，求的周长;
③若四边形是“等补四边形”，求的长，
26. 我们定义:对于一个函数，如果自变量x与函数值y，满足:若，则 （为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如: 函数在上是同步函数.理由:
得，∴在上同步函数.
（1）若函数在上是同步函数，求的值；
（2）已知反比例函数在上是同步函数，求的值；
（3）若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为4a，设抛物线与直线交于A，B点，与y轴相交于C点.若的内心为G，外心为M，试求的长.
葡萄品种
A品种
B品种
每包中葡萄重量（千克）
1
2
售价（元/包）
18
20
每个包装盒的成本（元）
3
2