河北省邯郸市2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（原卷版）

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这是一份河北省邯郸市2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（原卷版），共4页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
选择题使用2B涂卡笔将答案标在答题卡上
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1. 已知向量，满足，且，则，夹角为（）
A. B. C. D.
2. 在中，角对边为，且，则的形状为（）
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
3. 设复数，，则复数的虚部是（）
A. B. C. D.
4. 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各个，无放回的从中任取个球，则恰有两个球同色的概率为
A. B. C. D.
5. 若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
6. 在四面体中，，，平面，四面体的体积为.若四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）.
A. B. C. D.
7. 已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（）
A. 截面多边形不可能是平行四边形B. 截面多边形周长是定值
C. 截面多边形的周长的最小值是D. 截面多边形的面积的取值范围是
二、多选题（共18分，每题6分，多选错选不选不得分，漏选少选得部分分）
9. 下列结论中正确是（）
A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图的面积相等
B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差不改变
C. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
D. 数据，，，．．．，的方差为M，则数据，，，…，的方差为2M
10. （多选）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，异面，，，，，则
D. 若，，，则
11. 如图，已知在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，若为的中点，则在翻折过程中（点平面），以下命题正确的是（）
A. 平面
B.
C. 存在某个位置，使
D. 当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为
第II卷（非选择题）
填空题、主观题请在答题卡相应位置上作答
三、填空题（共15分，每题5分）
12. 某学校三个年级共有2760名学生，要采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知一年级有1150名学生，那么从一年级抽取的学生人数是___________名.
13. 设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为______________．
14. 已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是____________．
四、解答题（共77分）
15. 如图1所示，四边形为梯形且，，为中点，，，现将平面沿折起，沿折起，使平面平面，且重合为点（如图2所示）．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
16. 如图，四棱柱的底面为梯形，，三个侧面，，均为正方形．

（1）证明：平面平面．
（2）求点到平面的距离．
17. 在平面直角坐标系中，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ），为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.
18. 已知的三个内角，，对的三边为，，，且
（1）若，，求；
（2）已知，当取得最大值时，求周长.
19. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．