2023-2024学年江苏省淮安市清江浦区三校八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市清江浦区三校八年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分类．下面图标分别为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12B．2，3，4C．5，12，13D．0.6，0.8，1
3．（3分）三角形中，到三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
4．（3分）已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（ ）
A．2B．3C．2或3D．不能确定
5．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
6．（3分）如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确的是（ ）
A．△ABD≌△CBDB．△ABC≌△ADCC．△AOB≌△COBD．△AOD≌△COD
7．（3分）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，D两点落在B'，D'点处，若∠AOB'＝76°，则∠CGO的度数是（ ）
A．52°B．50°C．48°D．45°
8．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若过点A的一条直线将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
二、填空题（每空3分，共24分）
9．（3分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为斜边AB上的中点，则CD为 ．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2．若S1＝20，S2＝11，则BC的长为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若BC＝5，BD＝3，则DE的长为 ．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段DN的长度为 ．
15．（3分）如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝3，AC＝CD，则△BCD的面积为 ．
16．（3分）已知等边△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动时，的最小值为 ．
三、解答题（要求写出完整的必要的解答过程，共72分）
17．（6分）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
求证：AB∥DE．
18．（6分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，AD⊥BC于点D，求AD的长．
19．（8分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等，则网格中满足条件的点P共有多少个；
（3）在直线l上求作一点Q使QB+QC的值最小，此时（QB+QC）2＝ ．
20．（8分）高州市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．
（1）求空地的面积；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
21．（8分）如图，过△ABC的边BC的垂直平分线DG上的点D作△ABC另外两边AB，AC所在的直线的垂线，垂足分别为E、F，且BE＝CF．
求证：
（1）DF＝DE；
（2）∠ACD+∠ABD＝180°．
22．（10分）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
23．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
24．（14分）在长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，BC＝AD＝4．
（1）如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
（2）如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B'EF，连接DB'，当△DEB'是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
（3）如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A'，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
2023-2024学年江苏省淮安市清江浦区三校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，每题3分，共24分）
1．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．【分析】根据勾股数的定义逐项验证即可得到答案．
【解答】解：A、62+92≠122，该组数据不是勾股数，不符合题意；
B、22+32≠42，该组数据不是勾股数，不符合题意；
C、52+122＝132，该组数据是勾股数，符合题意；
D、勾股数必须是正整数，其中0.6，0.8不是正整数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：①作为勾股数的三个数必须是正整数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．
3．【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
4．【分析】已知等腰三角形有一条边长为2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长为2时，底边长为8﹣2×2＝4，三角形的三边长为2，2，4，不能构成三角形；
当底边长为2时，腰长为（8﹣2）÷2＝3，三角形的三边长为3，3，2，能构成三角形；
所以等腰三角形的腰长为3．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
6．【分析】根据轴对称的性质，结合图形找出全等的三角形，然后即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD关于BD所在的直线对称，
∴△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB，△AOD≌△COD，故A、C、D判断正确；
∵AB≠AD，
∴△ABC和△ADC不全等，故B判断不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据轴对称的性质找出全等的三角形是解题的关键．
7．【分析】由折叠的性质可知：∠B′OG＝∠BOG，结合平角等于180°可求出∠BOG的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠CGO的度数．
【解答】解：由折叠的性质可知：∠B′OG＝∠BOG．
∵∠AOB′+∠B′OG+∠BOG＝180°，
∴∠BOG＝（180°﹣∠AOB'），
又∵∠AOB'＝76°，
∴∠BOG＝52°．
∵AB∥CD，
∴∠CGO＝∠BOG＝52°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
8．【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．
综上，这样的直线最多可画3条．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．
二、填空题（每空3分，共24分）
9．【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01，
故答案为：15：01．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
10．【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵点D为斜边AB上的中点，
∴CD＝AB＝×5＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11．【分析】根据勾股定理求出BC2，则可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵S1＝20，S2＝11，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝20﹣11＝9，
∴BC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
12．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，进而得出∠DAC＝∠C＝28°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝28°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°，
由题意得：MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝28°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝84°﹣28°＝56°，
故答案为：56°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD即可求解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，AC⊥CD，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵BC＝5，BD＝3，
∴CD＝DE＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解BN，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝3，
在Rt△BND中，x2+32＝（9﹣x）2，
解得x＝4．
故线段BN的长为4．
DN＝＝＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
15．【分析】作DE垂直于BC的延长线，垂足为E，再证明△ABC≌△CED（AAS），可得BC＝DE＝3，再利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作DE垂直于BC的延长线，垂足为E，
∵∠ABC＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CED中，
∵，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝DE＝3，
∴．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，关键是等腰三角形的判定定理的应用．
16．【分析】根据题意易得AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°，则有∠BAD＝∠DAC＝30°，过点P作PE⊥AC于点E，进而可得，当取最小时，即PE+BP为最小，则有当点B、P、E三点共线且BE⊥AC时最短，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，
过点P作PE⊥AC于点E，如图所示：
∴，
∴，
∴当取最小时，即PE+BP为最小，
∴当点B、P、E三点共线时且BE⊥AC时最小，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴BE＝AD＝12，
∴最小值为12；
故答案为：12．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，熟练掌握等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（要求写出完整的必要的解答过程，共72分）
17．【分析】利用全等三角形的判定和性质定理及平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及平行线的判定，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键．
18．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出BD的长，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD＝＝12（cm），
∴AD的长为12cm．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
19．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）满足条件的点P在线段AB的垂直平分线上，由此即可判断；
（3）连接BC1交直线l于点Q，连接CQ，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，满足条件点P共有9个；
（3）如图，点Q即为所求．此时（QB+QC）2＝C1B2＝32+42＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
20．【分析】（1）由勾股定理得AC＝15m，再由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，然后由三角形面积公式即可得出结论；
（2）由题意列式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝AD•AC+AB•BC＝×8×15+×9×12＝60+54＝114（m2），
答：空地的面积为114m2；
（2）150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得出CD＝BD，利用HL证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到CF＝BE；
（2）由Rt△CDF≌Rt△BDE，推出∠FCD＝∠EBD，得到∠FCD+∠ACD＝180°，据此即可得解．
【解答】（1）证明：∵D在BC的垂直平分线上，
∴CD＝BD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，∠DEB＝90°，
∴△CDF和△BDE为直角三角形，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴DF＝DE；
（2）证明：∵Rt△CDF≌Rt△BDE，
∴∠FCD＝∠EBD，
∵∠FCD+∠ACD＝180°，
∴∠ACD+∠ABD＝180°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADE．
22．【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+（a2+b2）＝ab+c2，即可证得a2+b2＝c2；
【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），
利用分割法，梯形的面积为S＝S△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，
∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【点评】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立．
23．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下：
CD＝CH．
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．
24．【分析】（1）利用翻折变换的性质以及勾股定理求解即可；
（2）分两种情形：如图2﹣1中，当DE＝DB′，过点D作DJ⊥EB′于点J．证明BE＝2AE，可得结论．如图2﹣2中，当DE＝EB′时，利用勾股定理，构建方程求解即可；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点M在线段AB上时，证明CD＝CM，求出BM即可．如图3﹣2中，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD＝CM＝5，再求出BM即可．
【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
由翻折变换的性质可知AB＝AQ＝5，
∵AD＝4，
∴DQ＝＝＝3，
故答案为：3；
（2）如图2﹣1中，当DE＝DB′，过点D作DJ⊥EB′于点J．
∵DE＝DB′，DJ⊥EB′，
∴EJ＝JB′，
∵DE⊥EF，
∴∠BEF+∠DEA＝90°，∠FEB′+∠DEB′＝90°，
∵∠BEF＝∠BEF′，
∴∠DEJ＝∠DEA，
∵∠A＝∠DJE＝90°，DE＝DE，
∴△DEA≌△DEJ（AAS），
∴AE＝EJ＝JB′，
∵EB＝EB′，
∴BE＝2AE，
∵AB＝5，
∴AE＝AB＝；
如图2﹣2中，当DE＝EB′时，
设BE＝EB′＝DE＝x，则x2＝42+（5﹣x）2，
∴x＝，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣＝．
综上所述，AE的长为或；
（3）如图3﹣1中，当点M在线段AB上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CDM＝∠AMD，
∵∠AMD＝∠A′MD，
∴∠CDM＝∠CMD，
∴CD＝CM＝5，
∵∠CBM＝90°，
∴BM＝＝＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝5﹣3＝2．
如图3﹣2中，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD＝CM＝5，
∵∠CBM＝90°，CB＝4，
∴BM＝＝＝3，
∴AM＝AB+BM＝5+3＝8．
综上所述，满足条件的AM的长为2或8．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．