5.2.2 由对角线的关系判定平行四边形 课件 鲁教版数学八年级上册

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第5章 平行四边形5.2 平行四边形的判定第2课时 由对角线的关系判定平行四边形由对角线的关系判定平行四边形平行四边形判定方法的综合应用平行四边形的判定方法有哪些？回顾与思考 前面我们已经得到了平行四边形的两个判定方法，你还能找到其他的判定方法吗？你同意他的想法吗？你能证明他的猜想吗？请你试一试. 如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD看起来是平行四边形. 于是我猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.知识点由对角线的关系判定平行四边形 1定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形.例 1 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O, 并且OA＝OC，OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.∵OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB. ∴△AOD≌△COB. ∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO. ∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形).证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．数学表达式：如图，∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．例2已知：如图(1)，E，F是 ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：如图(2)，连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分).∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形）.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是OA和OC的 中点，四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由.1.四边形BFDE是平行四边形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC.又∵E，F分别是OA和OC的中点，∴OE＝OF. ∴四边形BFDE是平行四边形．解：2.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件_______________________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．BO＝DO(答案不唯一)3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BCC4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当点E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形(　　)A．OE＝OF B．DF＝BEC．AE＝CF D．∠AEB＝∠CFDB5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为(　　)A．6 B．12 C．20 D．24D平行四边形的判定方法：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.知识点平行四边形判定方法的综合应用21. 平行四边形的判定定理和性质定理是互逆定理，解题时要注意区别，不能混淆.(1)由平行四边形这一条件得到边、角、对角线关系是性质；(2)由边、角、对角线关系得到平行四边形是判定.2. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.3.两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形.例3如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB.给出以下结论：①BE∥DF；②BE＝DF；③AE＝CF.请你从中选取一个条件，使∠1＝∠2成立，并给出证明．导引：欲证明∠1＝∠2，只需证得四边形EDFB是平行四边形或△ABF≌△CDE即可．(1)补充条件①BE∥DF.证明：∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA. ∴∠BEA＝∠DFC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠DCF.在△ABE与△CDF中，解：∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF. ∴四边形BFDE是平行四边形．∴ED∥BF. ∴∠1＝∠2.(2)补充条件③AE＝CF.证明：∵AE＝CF，∴AF＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAF＝∠DCE.在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE(SAS)．∴∠1＝∠2.如图，在 ABCD中，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数.1.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC.∴ED∥BF. 又∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴∠EBF＝∠FDE.∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠EBF＝ ∠ABC＝35°.∴∠FDE＝35°.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠CDF＝∠ADC－∠FDE＝35°.解：2. 下列说法错误的是(　　)A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形D3. 在四边形ABCD中，AC交BD于点O，且AB∥CD，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是(　　)A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④C4. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列4组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有(　　)A．1组 B．2组 C．3组 D．4组C练点1 由对角线的关系判定平行四边形 1. 能判定四边形是平行四边形的是(　D　)D2. 要使如图所示的四边形 ABCD 是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是(　B　)B3. [新视角·操作实践题]已知△ ABC (如图①)，按图②③所示的尺规作图痕迹(不需借助三角形全等)，能推出四边形 ABCD 是平行四边形的依据是 ⁠ ⁠.对角线互相平分的四边形是平行四边形　如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　)A．0个 B．1个C．2个 D．3个B易错点：混淆平行四边形的判定方法致判断错误给出条件①OE＝OF，由四边形ABCD是平行四边形，可得OD＝OB.又∵OE＝OF，∴四边形DEBF为平行四边形．故③正确．故①正确．故③正确．给出条件③∠ADE＝∠CBF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAE＝∠BCF.又∵∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF.∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB.∴∠DEO＝∠BFO.∴DE∥BF.∴四边形DEBF为平行四边形．故③正确．给出条件④∠ABE＝∠CDF，理由同③，亦可判定四边形DEBF为平行四边形．故④正确．只有给出条件②无法判定四边形DEBF为平行四边形．故选B.本题易错选A.将DE＝BF作为条件判定三角形全等，从而推出四边形DEBF为平行四边形．必做: 请完成教材课后练习 补充: 请完成本课时习题作业1作业2