上海市长宁区2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份上海市长宁区2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了填空题.，选择题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置）.
1. 已知集合，集合，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由集合的交运算求即可.
【详解】由题设知：.
故答案为：
2. 若，则_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数对数互化式即可求出答案.
【详解】因，所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查指数的定义，熟练掌握指数对数互化式为解题的关键，属于简单题.
3. 不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法步骤即可求解.
【详解】由，得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案：.
4. 根式的指数幂形式为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解．
【详解】，．
故答案为：．
5. “或”的否定形式为______．
【答案】“且”
【解析】
【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解.
【详解】由题意“或”的否定形式为“且”.
故答案为：“且”.
6. 若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】将点代入，求得的值，求得幂函数解析式，再求其定义域.
【详解】幂函数的图象经过点，
则，所以，故，
故的定义域为.
故答案为：
7. 若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据指数函数的性质得答案.
【详解】由指数函数的性质可得
解得
故答案为：
8. 已知，若，则______.
【答案】或
【解析】
【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值.
【详解】由，得；
由， 得；
由，得（舍）；
综上或.
故答案为：或.
9. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是______.
【答案】,
【解析】
【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围．
【详解】方程可变形为，由于方程在上有解，
而当,时，，所以，解得，
即实数的取值范围是,．
故答案为：,．
10. 已知，方程的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可.
【详解】当时，则；
当时，则；
当时，则.
综上所述，原方程的解集为.
故答案为：.
11. 已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______．
【答案】；
【解析】
【分析】根据函数解析式先求当时不等式的解，再由奇函数对称性求出时的解，又，综上即可得出不等式解集.
【详解】当时，，解得，
因为是上的奇函数，故图象关于原点对称
所以当时，，
又由是上的奇函数，所以，即，
综上，的解集为.
故答案为：
12. 已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是______.
【答案】,
【解析】
【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分和两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小值，即可得到不等式，解得即可．
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，时，，
则只需，解得；
当时，在，上单调递增，
当时，，时，，
则只需要，解得，
又，所以．
综上可得，即实数的取值范围是,．
故答案为：,．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
13. 若与互为相反数，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用对数性质，结合相反数性质计算．
【详解】与互为相反数，则，即，则.
故选：D.
14. 设为函数的零点,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断.
【详解】解：因为函数连续函数，且零点为，
； ，
，故函数的零点在区间内，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
15. 了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过分析不同函数的增减性快慢，即可进行得到结果.
【详解】根据题意，对于①，，即函数的定义域为,值域为，A、B、C、D均符合；
对于②随的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，A符合，B、C、D均不符合.
故选：A.
16. 已知函数的定义域为.
是上严格增函数；
任意，都有，且当时，恒有；
：当时，都有；
下列关于的充分条件的判断中，正确的是（ ）
A. 都是B. 是，不是
C. 不是，是D. 都不是
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案．
【详解】根据题意，对于：任意，，都有，
令，则有，
再令，有，变形可得，
则函数为奇函数；
设，有，
则有，
必有，
故函数是上的严格增函数，
则是的充分条件；
对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件；
故选：B．
三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. 已知是实数.
（1）求证：，并指出等号成立的条件；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析，当且仅当，时，不等式等号成立
（2）4
【解析】
【分析】（1）作差法证明即可；
（2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.
【小问1详解】
证明：因为
，
所以，
当且仅当，时，不等式中等号成立.
【小问2详解】
，
当且仅当，即或时，不等式中等号成立.
所以的最小值为4.
18. 设集合，.
（1）若，试用区间表示集合、；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，分别解出不等式，得集合、；
（2）求出集合，根据，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，由，得，
解得，所以，
由，得，则有，
解得，所以；
【小问2详解】
由，得，
解得，所以，
由（1）得，由于，
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
19. 为了鼓励消费，某地发放了以“爱购**”为主题的消费券，一张消费券价值50元，使用方式为：消费满100元后，结账时该券抵50元．
（1）A商家在中秋节期间举行促销活动，每件商品按原价6折销售．若买一件原价为300元的商品，则在结账时使用了一张消费券后，还应付多少元？
（2）小明在B商家选购时看中了一件88元的商品和一件打5折的特价商品，但特价商品的折扣不能与消费券同时使用，若该特价商品原价的范围在元，试判断小明是否会使用消费券？并说明理由．
【答案】（1）130元
（2）小明不会使用消费券，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意直接打折、优惠券叠加使用计算即可.
（2）分别计算出小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱，通过作差比较大小即可判断.
【小问1详解】
由题意原价为300元的商品打6折后本应付元，
若在结账时使用了一张消费券后，则还应付元.
【小问2详解】
设特价商品原价为，小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱分别为，
则，
所以，
即，
所以小明不会使用消费券，而会选择按特价商品打折方式购买.
20. 已知函数，其中.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解；
（2）设,然后由为上的增函数，则成立求解.
【小问1详解】
当时，函数的定义域为，
对，，
所以函数为奇函数；
当时，的定义域为，
对，，
此时，
此时，函数是奇函数；
【小问2详解】
设，
则，
，
因为，所以，，
若为上的增函数，则成立，
则成立，所以成立，解得，
所以实数的取值范围是.
21. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质.
（1）判断函数在上否具有性质，并说明理由；
（2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；
（3）设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值.
【答案】（1）不具有性质,理由见解析
（2）,
（3），．
【解析】
【分析】（1）原式可化为对任意，都存在使得，即函数的值域为值域的子集即可，
（2）根据的值域为值域的子集即可列不等式求解，
（3）根据的值域为值域的子集即可分类讨论求解，
【解答】解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集，
【小问1详解】
由可得，
因为的值域为，的值域为，显然不是的子集，即函数在上不具有性质；
【小问2详解】
函数在区间,的值域为,，函数在,上的值域为,，
要使函数具有性质,只需，解得，即的取值范围为,；
【小问3详解】
由题意的值域为,，
因为,，所以的对称轴,，且开口向下，
所以的最大值为，又，，
当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，，符合题意；
当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，所以符合题意，
综上，的取值为，．