广东省惠州市惠东县2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市惠东县2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了08， 已知全集，集合，，则集合， 集合 ，若且，则的取值范围为， 已知，，，则， 函数，若有，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

2024.08
试卷共4页，卷面满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的补集、并集运算法则进行混合运算即可求得结果.
【详解】根据题意由补集运算可知，
又，所以.
故选：C
2. 下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，为偶函数，故A错误；
对于B，设，所以
故在定义域上不是单调递增，故B错误；
对于C，，故函数的单调增区间为和，
所以在定义域上不是单调递增，故C错误；
对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确.
故选：D
3. 集合 ，若且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.
【详解】因为且，所以且，解得.
故选：B.
4. 已知在R上奇函数，当时，，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可.
【详解】由题意，所以.
故选：D
5. 命题“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用恒成立求出参数范围，然后利用必要不充分性的定义求解即可.
【详解】，即，
故任意，即，
故“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是.
故选：B
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的单调性，对比出、、三者与特殊值0、1的大小关系，运用中间值法解决问题.
【详解】解：因为函数为单调递增函数，
所以，即；
因为为单调递增函数，
所以，即；
因为单调递减，
所以，
即，
故，
故选：A.
7. 函数，若有，则（ ）
A. 8B. 5C. 0D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用图象变换求得函数的图象关于对称，进而得到，即可求解.
【详解】由函数，可得，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，
根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，
因为，所以且，解得.
故选：A.
8. 已知函数，且满足时，实数的取值范围（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性再判断函数的单调性，最后运用函数的奇偶性和单调性进行求解即可.
【详解】该函数的定义域为全体实数，
因为
，
所以函数是奇函数，
又因为，
函数是实数集上的增函数，且，
所以函数是实数集上的减函数，
所以函数是实数集上的减函数，
而函数也是实数集上的减函数，
所以由函数单调性性质可知函数是实数集上的减函数，
由
，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性、复合函数的单调性.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图像恒过定点
B. “”的必要不充分条件是“”
C. 函数的最小正周期为2
D. 函数的最小值为2
【答案】AB
【解析】
【分析】由指数函数的性质可判断A；由充分条件和必要条件的定义可判断B；求出函数的最小正周期可判C；由双勾函数的性质可判断D.
【详解】对于A，令，则，即，
所以函数的图像恒过定点，故A正确；
对于B，不能推出，而能推出，
所以“”的必要不充分条件是“”，故B正确；
对于C，因为，令等价于，
所以①，令等价于，
所以②，由①②可得：，
所以函数的最小正周期为4，故C错误；
对于D，函数，令，
则，由双勾函数的性质知在上单调递增，
故，故函数的最小值为2错误，故D错误.
故选：AB.
10. 狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，其函数表达式为（其中为有理数集，为无理数集），则关于狄利克雷函数说法正确的是（ ）
A. B. 它是偶函数
C. 它是周期函数，但不存在最小正周期D. 它的值域为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，由狄利克雷函数的性质，逐一判断，即可得到结果.
【详解】因，则，故A正确；
若，则，则；若，则，则，所以为偶函数，故B正确；
设任意，则，
当时，则，当时，或，
则，即任意非零有理数均是的周期，任何无理数都不是的周期，故C正确；
函数的值域为，故D错误；
故选：ABC
11. 已知定义域为的函数满足，在解析式为，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 若函数在内恒成立，则
C. 对任意实数，图象与直线最多有6个交点
D. 方程有4个解，分别为，，，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据定义域为的函数满足可得到函数为奇函数，由在上的解析式，作出函数在上的图象，运用数形结合法求解本题.
【详解】解：因为定义域为的函数满足，
即，
所以函数为奇函数，
因为在解析式为，
故作出函数的图象，如图所示.
选项A：由图可知，当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，
但当，并不是随着增加而减少，
故选项A错误；
选项B：因为函数在内恒成立，
所以由图象可知，
由解得，，
所以，
故选项B正确；
选项C：取时，如图所示，

当时，联立方程组，
化简得，
设函数，
因为且对称轴为，
所以方程在上有两个不相等的实数根，
设，，
因为函数在上单调递增，
且，，
所以在在只有一个零点，
所以直线与函数图象在有1个交点，
所以当时，直线与函数图象有3个交点，
因为函数与函数均为奇函数，
所以当时，直线与函数图象有3个交点，
又当时，直线与函数图象有1个交点，
所以此时直线与函数图象有7个交点，
故选项C错误；
选项D：当时，
则根据图象可得的4个解所在大致范围为，，，，

因为有4个解，
所以，
所以，解得，
所以，
由二次函数的对称性可知，的解、满足，
因为函数为奇函数，且当时解析式为，
所以当时解析式为，
所以，
所以有，即，
所以，
设，，
又因为函数在单调递增，
所以，
所以，
所以选项D正确，
故选：BD.
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若函数定义域为，则实数_______实数b的取值范围_______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】利用函数的定义域求解即可.
【详解】函数，故，即
函数的定义域为，故.
故答案为：2；
13. 命题“”为假命题，则实数a的范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，转化为在上有解，设，利用函数的单调性求得其最小值，即可求解.
【详解】命题“”为假命题，可命题“”为真命题，
即不等式在上有解，
设函数，可得函数在为单调递增函数，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由可知函数的周期为4，再数形结合得出结果.
【详解】由得，
所以函数的周期为4，
先作出在区间上图像：

又，，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 若二次函数对任意都满足且最小值为-1，．
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）法一：可设，由得到，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案；
法二：可设，由得到图象对称轴，求出，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案；
（2）转化为在上恒成立，求出的最小值大于即可，求出的单调性，进而求出的最小值，从而得到实数的取值范围.
【小问1详解】
法一：由为二次函数，可设，
∵，则代入得，
化简：，
因为其对任意都成立，所以，
即．
又因为最小值为-1，且，
∴，解得，
∴；
法二：由为二次函数，可设，
∵函数满足，
∴图象的对称轴为，即，
最小值为-1，且，
∴，∴
∴；
【小问2详解】
∵，即在上恒成立，
即满足函数的最小值大于．
又∵当时，对称轴为，
故在单调递减，单调递增．
∴在的最小值在取得，
即
∴，
故的取值范围是.
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，设，则，借助奇函数性质可求得解析式；
（2）根据函数的解析式，分，，三种情况讨论，解出.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
则.
【小问2详解】
当时，，，
，，，即，
当时，，满足不等式．
当时，，恒成立，
满足不等式，即，
综上所述，不等式的解集为：．
17. 已知函数．
（1）先判断函数单调性并用定义法证明；
（2）是否存在实数a使函数为奇函数，并说明理由．
【答案】（1）函数在上单调递增；证明见解析
（2）；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（2）假设函数为奇函数，可得f-x=-fx，列出方程求得，结合函数奇偶性的定义与判定方法，即可求解.
【小问1详解】
解：函数在上单调递增；
证明如下：因为函数的定义域为，任取，且，
则，
因为函数在上为单调递增函数，且，
所以，且，所以，
所以，函数在上单调递增.
【小问2详解】
解：假设函数为奇函数，可得f-x=-fx，即，
即，所以，
经验证：当时，，其定义域为，
其满足，
所以，存在时，函数是奇函数.
18. 疫情过后，惠州市某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金（奖金和销售额单位都为十万元），奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%（即奖金大于等于）．经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案．
（1）若，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由．
（2）若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）不满足条件；理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先代入分析出在上单调递增，再得到，解出范围即可判断；
（2）代入分析出满足条件①，再由条件②得在时恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.
【小问1详解】
，因为在上单调递增．
在上单调递增，
则在上单调递增，所以①满足．
对于②，，即
整理可得
，则不满足②的条件．
故不满足条件．
【小问2详解】
当时，函数，因为
由（1）中知在上单调递增，奖金发放方案满足条件①．
由条件②可知，即在时恒成立，
所以，在时恒成立．
，在单调递增．
当时，取得最小值
∴
所以要使奖金发放方案满足条件，的取值范围为．
19. 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作．
设集合．
（1）求；
（2）①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列an，并构造，
②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列bn，并构．
请从①②中选择一个，若选择_____．
证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）．
注：若①②都作答，按第一个计分．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知定义求出集合，然后结合集合交集运算即可解题；
（2）结合所选条件，先求出，在适当放缩后，用等差等比数列，以及求和计算，然后结合单调性以及二项式定理即可判断.
【小问1详解】
当成立时，则能被整除，得，
即，
当成立时，则能被整除，得，
即，则，
显然集合为全体正偶数组成的集合，集合中所有的元素都是奇数，
所以.
【小问2详解】
若选择①，
将集合中的元素按从小到大排列构成的数列an为等差数列，其通项公式为：
设，，
由二项式定理得：
；
；
显然，
所以数列为单调递增数列，
同时，
当时，
，
则，
且，
所以数列有界；
若选择②，
将集合中的元素按从小到大排列构成的数列bn为等比数列，其通项公式为
设，
显然，
所以数列单调递增，
其中，
，
所以，
所以数列有界.
【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，主要考查集合交集运算，二项式定理，等差等比数列通项应用和求和方法，还考查了数列与函数单调性综合应用，属于难题.