北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学练习（解析版）

这是一份北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学练习（解析版），共19页。

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合交运算求.
【详解】由题设，或，
所以.
故选：B
2. 下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，可以说明它在0,+∞上不是单调递增，从而即可判断；对于BC，可以说明它们的值域并不是R，从而判断；对于D，由对数函数性质即可判断.
【详解】对于A，若，由，则，所以在0,+∞上单调递减，故A错误；
对于B，二次函数的最小值为，值域并不是R，故B错误；
对于C，幂函数在0,+∞上单调递增，但是它的值域是，并不是R，故C错误，
对于D，当时，，由对数函数性质可知在0,+∞上单调递增，且值域为R，故D正确.
故选：D.
3. 若，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.
【详解】AD选项，，则，但，所以AD选项错误.
B选项，若，则，所以B选项错误.
C选项，若，由于在上递增，所以，所以C选项正确.
故选：C
4. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断在是连续的增函数，再结合零点存在性定理可求得结果.
【详解】因为和在上都是连续的增函数，
所以在上是连续的增函数，
所以在上至多有一个零点，
因为，，
所以，
所以唯一零点所在的区间为，
故选：C
5. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由在上单调递减，确定，以及的范围，再根据单调递减确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题.
【详解】解：由题意得：
是上的减函数
解得：
故 a的取值范围是
故选：C
6. 已知，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简不等式，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.
【详解】的定义域是，AB选项错误.
①，
由解得或，
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式①的解集为.
故选：D
7. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.
【详解】当，时，，
则当时，有，解得，充分性成立；
当，时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.
【详解】因为数满足.
所以的图象关于对称.
因为函数对任意，且，都有成立，
所以在上为增函数.
又因为的图象关于对称，，
所以在为减函数，且.
用折线图表示函数的单调性，如图所示：
由图知：fx>0⇒-4故选：D.
9. 某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ）
A. 2千克/小时B. 3千克/小时
C. 4千克/小时D. 6千克/小时
【答案】C
【解析】
【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可.
【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，，
令，，则，故当时，最大，此时
故选：C
10. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得，则的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a，b，c，最后根据单调性比较大小.
【详解】由得，∴的周期为2，
又为偶函数，则，，
∵，在上单调递增，∴.
故选：A
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案：
12. 已知关于的不等式的解集为，则的值_________.
【答案】3
【解析】
【分析】对原不等式等价变形，分是否等于2进行讨论，根据一元二次不等式、方程之间的关系即可求解.
【详解】，
当时，原不等式等价于，故不符合题意，
当时，根据一元二次不等式解集可得，解得，
而当时，原不等式等价于或，故符合题意；
综上所述，的值为3.
故答案为：3.
13. 已知函数，则__________；的最小值为__________.
【答案】 ①. 4 ②. -1
【解析】
【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断.
【详解】，
在区间内单调递减，故在上无最小值，且
在区间内单调递增，故，
故答案为：-1
14. 已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________.
【答案】
【解析】
【分析】结合开口方向以及判别式求得取值范围.
【详解】当恒成立，
当时，且，
解得：，
当时,成立，
所以，
命题“，不等式恒成立”是假命题
所以的取值范围为：或．
故答案为：
15. 已知函数，有如下四个结论：
①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为；
③函数的图象是中心对称图形；④方程有且只有一个实根.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】③④
【解析】
【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.
【详解】的定义域为，，
因为在上单调递增，且恒成立，所以在上递增，①错误.
由于， ，
所以的值域为-1,1，故②错误；
由于，
所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确.
由得
构造函数，在上单调递增，
g0=0-21+1=-1<0,g1=1-24=12>0，
所以在上存在唯一零点，也即方程有且只有一个实根，④正确.
所以正确结论的序号是③④.
故答案为：③④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式及前项和；
（2）求数列前10项和.
【答案】（1），；
（2）50
【解析】
【分析】（1）利用等比中项求出，再利用等差数列的通项公式以及前和公式即可求解.
（2）讨论值，判断出数列从第几项开始为正，再利用等差数列的前和公式即可求解.
【小问1详解】
等差数列的公差为，，，
，，成等比数列，则，解得，
故等差数列的首项为，公差为.
所以，
.
综上所述，，；
【小问2详解】
由（1）可得当时，，当时，.
.
17. 已知二次函数的最小值为1，且．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设，结合，求得，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，结合题意，得到不等式，即可求解；
（3）根据题意，转化为在区间上恒成立，设，结合二次函数的性质，求得的最小值为，即可求解.
【小问1详解】
解：根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为，
因为函数的最小值为，可设，
又因为，可得，解得，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：由函数，其对称轴为，
要使得函数在区间上不单调，则满足，
解得，即实数a取值范围为.
【小问3详解】
解：由函数，
若在区间上，的图象恒在的图象上方，
则由在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
设，其对称轴为，则在上单调递减，
所以函数的最小值为，则有，
所以实数m的取值范围为．
18. 近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表：
（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率；
（2）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望；
（3）求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用.
（4）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为48元.
（3）1.5元 （4）新能源汽车花费更少.
【解析】
【分析】（1）利用超几何分布概率计算；
（2）根据题意求概率，列分布列，再计算数学期望；
（3）分别确定各种可能的费用以及概率即可求解；
（4）计算两种汽车的花费，比较大小即可求解.
【小问1详解】
记事件品牌被选中，则.
【小问2详解】
由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时，
在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时，
在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时，
可能的取值有，则
分布列如下：
所以元.
【小问3详解】
充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为，
充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为，
充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为，
所以充电1千瓦时的平均费用为元.
【小问4详解】
若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为元，
若选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为元，
结合购车成本有，所以新能源汽车花费更少.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求的零点个数.
（3）在区间上有两个零点，求的范围?
【答案】（1）的单调减区间为：；单调增区间为：，
（2）1个 （3）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；
（2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解.
（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域即可求解.
【小问1详解】
由题可得：，
令，解得：或，
令f'x<0，解得：；
令，解得：或；
所以的单调减区间为：；单调增区间为：，
【小问2详解】
因为的单调减区间为：；单调增区间为：，，
由于，则在上无零点；
由于，则在上无零点；
由于，则在上存在唯一零点；
综上，函数在上存在唯一零点.
【小问3详解】
若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点；
由(1)知，在上单调递增，上单调递减；
，，，
所以函数与在区间上有两个交点，则，
即在区间上有两个零点，则的范围为
20. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数的极小值为0，求a的值；
（3）在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值
【答案】（1）
（2）
（3）12
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，
（2）求导，根据导函数的正负确定原函数单调性，即可由极值求解，
（3）将问题转化为对任意的，，构造函数，即可结合分类讨论求解函数的单调性求解.
【小问1详解】
当时，，则，
故，又，
故y=fx在点处的切线方程为
【小问2详解】
，
故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值，故，故
【小问3详解】
由（2）知，故，
故对任意的，成立，只需要对任意的，，
记，则，
①时，此时，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取极小值也是最小值，
故，不符合题意，
②当时，此时，
故当时， ，单调递增，
故，符合题意，
③当时，此时，
故当时， ，单调递减，
故，不符合题意，
④当时，故当时， ，单调递减，
故，不符合题意，
综上可得，
所以实数的最小值为12.
21. 对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有：
（i ）；
（ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.
（1）设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数；
（2）设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值；
（3）设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值.
【答案】（1）30；2是数列的4阶系数．
（2）26 （3）26
【解析】
【分析】（1）根据阶系数的定义进行判断；
（2）根据4阶系数的定义列出相应的等量关系，进行求解；
（3）根据阶系数的定义建立方程，构造函数，根据函数性质得到不等式组，进行求解．
【小问1详解】
因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且，
得．
数列通项公式为，所以当时，
,
所以2是数列的4阶系数．
【小问2详解】
因为数列的阶系数为3，所以当时，存在，使成立．
设等差数列的前项和为，则,
令，则,
所以，,
设等差数列的前项和为，，
则,
令，则,
所以，
当时，，
当时，，
则，解得．
【小问3详解】
设数列为等差数列，满足，2均为数列的阶系数，，
则存在，使
成立．
设数列的公差为，构造函数．
由已知得
，
所以，函数至少有三个零点，，，
由函数可知为偶数，且满足，
得，
所以，解得，
构造等差数列为：，，，，38，
可知当时命题成立，即的最大值为26．
【点睛】本题主要考查数列的综合运用，根据阶系数的定义建立方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
充电时间段
充电价格（元/千瓦时）
充电服务费（元/千瓦时）
峰时
10：00-15：00和18：00-21：00
1.0
0.8
平时
7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：00
0.7
谷时
当日23：00-次日7：00
0.4
54
45
36