2025届长沙一中高三第一次月考数学试卷及参考答案

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在下列区间函数f(x)=|sin⁡x|单调递减的是（ ）
A. 0,π2 B. π2,π C. π，3π2 D. 3π2,5π2
2.已知随机变量X服从N2,σ2.若P(X>3)=0.4, 则P(X<1)=（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
3.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ）
A. (x−2)2+y2=22
B. (x−2)2+y2=8
C. (x+2)2+y2=8
D. (x−2)2+y2=16
4. 若双曲线 C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的离心率为 3 , 则双曲线 C2:y2b2− x2a2=1 的离心率为（ ）
A. 324 B. 433 C. 3 D. 3
5．已知数列an，则“”是“数列an是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．
8. 已知等比数列an 的公比为q, 前n项积为Tn, 若a1=256 ，且∀n∈N∗. n≠8 ，均有TnA. 2−4,2−87 B. −12,−2−4∪2−87,12
C. 2−4，12 D. −12,−2−43∪2−87,12
二、选择题（本题共3小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)
9. 已知 z1,z2 为复数，则下列说法正确的是（ ）
A. z1⋅z1=z12
B. 若 z1+z2 表示 z1+z2 的共轭复数,则 z1+z2=z1+z2
C. 若 z1z2=0, 则 z1=0 或z2=0
D. 若 z12+z22=0, 则 z1=z2=0
10. 如图，已知二而角 α−l−β 的棱l上有A,B 两点， C∈a,AC⊥l,D∈β
BD⊥l, 若 AC=AB=BD=2,CD=22, 则（ ）
直线AB与CD所成角的余弦值为 45∘
B. 二面角 α−l−β 的大小为 60∘
C. 三棱锥A−BCD的体积为23
D. 直线CD 与平面β 所成角的正弦值为 64
11.已知是定义在上的单调递增且图象连续不断的函数，若，恒有成立，设，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5 分，共 15 分）
12.在等差数列中，若，则 ．
13.已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且，，则椭圆的离心率等于 .
已知集合B,C是集合A的真子集且B∩C=∅, 如果 ∀a∈A,∃b∈B, c∈C, 使得 a=λb+μc, 其中 λ,μ∈{0,1}, 则称B,C是集合A的一组有序基底集, 记为(B,C). 已知 A={1,2,3,4}, 且(B,C)为A的一组有序基底集，则集合B中的元素之和小于4的概率为 .
解答题 (本大题共5个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. (本小题满分 13 分)
数列中，，Tn为an的前n项积，若是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
16. (本小题满分 15 分)
如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，．

(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
(本小题满分 15 分)
已知中，角所对的边分别为，且.
(1)证明：
(2)若△ABC的面积为3, 求a的最小值.
18.(本小题满分17分)
若存在常数k(k>0) ，使得对定义域D内的任意x1,x2x1≠x2,都有： 成立, 则称函数f(x)在其定义域D上是“利普希兹条件函数”.
(1)判断函数 f(x)=1x 是否是区间[1，+∞) 上的 " 1-利普希兹条件函数"? 并说明理由；
(2)已知函数f(x)=x3是区间 [0,a](a>0) 上的" 3-利普希兹条件函数". 求实数a的取值范围;
(3) 若函数f(x)为连续函数，其导函数为f′(x) ，若f′(x)∈(−K,K) ，其中 019. (本小题满分 17 分)
已知F为抛物线E:x2=4y 的焦点, 过点 (0,2) 的直线l与抛物线E交于A,B 两点,抛物线E在A,B两点处的切线交于点L.
(1) 设Px0,y0 是抛物线E上一点, 证明: 抛物线E在点P处的切线方程为y=x0x2−y0, 并利用切线方程求点L的纵坐标的值;
(2) 点C为抛物线E上异于A,B 的点, 过点C作抛物线E的切线, 分别与线段 AL,BL交于 M,N.
(i) 若LM=λLA,LN=μLB, 求 λ+μ 的值;
(ii)证明: |FA|+|FB|+|FC|>|FL|+|FM|+|FN| 。