云南省楚雄市楚雄天人中学2024-2025学年高一上学期新生入学分班考试数学试题（解析版）

这是一份云南省楚雄市楚雄天人中学2024-2025学年高一上学期新生入学分班考试数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回．等内容，欢迎下载使用。

（全卷3个大题，共27个小题；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1、本卷为试题卷，考生解题作答必须在答题卡上；答案书写在答题卡相应位置上；在试题卷、草稿纸上作答无效．
2、考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【详解】解：根据倒数的定义知道的倒数是．
故选：A．
2. 2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义表示出来即可.
【详解】万,
故选：B.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A．根据同类项的定义判断即可；
B．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
C．根据同底数幂的除法运算法则计算即可；
D．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：与不是同类项，无法合并，
∴A不正确，不符合题意；
，∴B不正确；
，
∴C不正确，不符合题意．
，∴D正确，符合题意；
故选：D．
4. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x的方程有两个不相等的实数根．构建不等式求解．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，∴，∴．
故选：B．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】由，得，
所以不等式组的解集在数轴上表示为：
．
故选：B．
6. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A. B. 2024C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法对所给一元二次方程进行转化即可解决问题．
【详解】由题知，，
，
，
，
所以，.
所以.
故选：D
7. 函数自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】由题意得：，解得：，
所以函数自变量的取值范围是.
故选：C．
8. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解.
【详解】因为，所以函数的图象分布在第二、四象限，
在每一象限，y随x的增大而增大，因为，所以，
所以.
故选：C.
9. 若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（ ）
A. 正六边形B. 正七边形C. 正八边形D. 正九边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的外角和列式计算即可．
【详解】解：由题意得，即这个正多边形是正八边形，
故选：C．
10. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】A．轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
11. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表：
次测试成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. 172和172B. 172和173C. 173和172D. 173和173
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】从小到大排序，中位数是第12，13个数据的平均数，
所以中位数．这组数据中172出现次数最多，所以众数为172，
故选：C．
12. 已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可．
【详解】，
，
直线，
，
故选：B．
13. 如图，是的直径，，是⊙O上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用圆周角定理可得：，然后利用平角定义得，根据圆周角定理得，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】，，
平分，，
是的直径，，
．
故选：A．
14. 如图，一次函数的图象与轴相交于点，则点关于轴的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法求出点的坐标，再根据轴对称变换的性质解决问题．
【详解】对于一次函数，令，可得，
，
点关于轴的对称点的坐标为．
故选：A．
15. 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处n＝0，1，2，3，4，5，…）的计算结果中的各项系数：
则各项系数的和为（ ）
A. 32B. 48C. 64D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可以得出规律：的各项系数和.
【详解】根据题目可知：的各项系数和为：，
的各项系数和为：，
的各项系数和为：,
的各项系数和为： ,
所以的各项系数和为：，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】观察原式，找到公因式，提出公因式后发现符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．
【详解】=2aa+2a-2.
故答案：2aa+2a-2
17. 某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛．这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，，方差是，
，那么应选____去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】∵两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，，
方差是，，∴，
∴这10次测试成绩比较稳定的运动员是甲；
故答案为：甲．
18. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据，得出与相似，从而得出，由此得出的长．
【详解】，
，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
19. 若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】设扇形的母线长为，
圆锥的底面半径是，
圆锥的底面周长是，即侧面展开图扇形的弧长是，
则，
解得：，
由勾股定理得：圆锥的高．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可．
【详解】
21. 如图，，．
（1）求证：；
（2），求的度数.
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据可证明；
（2）由全等三角形的性质及平行线的性质可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，∴，
在和中，
，
∴（）.
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
【答案】甲骑行的速度是18千米/时．
【解析】
【分析】设乙骑行的速度是千米/时，则甲骑行的速度是千米/时.利用时间路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙骑行的速度，再将其代入中，即可求出甲骑行的速度．
【详解】设乙骑行的速度是千米/时，则甲骑行的速度是千米/时．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲骑行的速度是18千米/时．
23. 我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【答案】（1）20，72，40
（2）作图见解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）根据等级为A人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
【小问1详解】
根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为；
C等级所占的百分比为，所以m＝40，
故答案为：20，72，40．
【小问2详解】
等级B的人数为（人），
补全统计图，如图所示：
【小问3详解】
根据题意，列出表格，如下：
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女概率为．
24. 如图，中，点E、F分别是的中点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果四边形的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形的面积S．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出，再根据点E、F分别是的中点，即可得到进而判定四边形是菱形；
（2）设则，进而得到，再根据，，得到据此可得xy，进而得到菱形的面积．
【小问1详解】
点E、F分别是的中点，
∴分别是斜边上的中线，
∴
∴四边形AEDF是菱形；
【小问2详解】
如图，连接EF交AD于点O，由（1）知，四边形是菱形．
∴，
∵四边形AEDF的周长为12，
∴，∴，即，
∴．
25. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
【答案】（1）长款服装购进30件，短款服装购进20件；
（2）当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元.
【解析】
【分析】（1）依据题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，则可得，计算即可得解.
（2）依据题意，设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，从而，故，又设利润为元，则，再结合一次函数的性质，即可判断得解.
【小问1详解】
依题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
因此，解得，
所以长款服装购进30件，短款服装购进20件.
【小问2详解】
依题意，设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，
因此，解得，
又设利润为元，则，
显然随m的增大而减小，则当时，利润取得最大值（元）.
所以当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元.
26. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若，求m的值．
【答案】（1）
（2）10 （3）2或4．
【解析】
【分析】（1）根据题意得到设抛物线的解析式为，代入求解即可得到答案；
（2）分别求出AO，BO所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；
（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到S1，表示出新抛物线找到交点得到S2，根据面积公式列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
设抛物线的解析式为，
由题意可得∴，
把点A坐标代入所设解析式中得解得则.
【小问2详解】
设AO的解析式为，BO的解析式为，
分别将代入，，
得解得
∴AO的解析式为，BO的解析式为.
联立直线解析式与抛物线，得解得（舍去）；
得解得（舍去），
∴E，F两点之间的距离为.
【小问3详解】
当，即时，解得，
∴，
∵抛物线向右平移m（m＞0）个单位，
∴，
当时，，
当时，，
解得，
∴，
∵，∴，
解得（不符合题意舍去），（不符合题意舍去），
综上所述：或4．
27. 如图，已知是半圆的直径，是的切线，点在上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的正弦值；
（3）若，，是直径上的动点，点、在直线上，记，，，当、均为最小值时，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，可得，即是圆的切线；
（2）连接，，因为，可设，，，，证明，可得，在中，即可求得的值；
（3）当，时，、均取得最小值，由，可得，只要求出的取值范围即可得出的取值范围．
【小问1详解】
如图1，连接
是圆的切线，是半圆的直径，
，
，，又
，，
在与中
，
，是圆的切线；
【小问2详解】
连接，
，
设，则，，则
是直径，，
由（1）得，
，，
，，
在中，；
【小问3详解】
如图3，当，时，、均取得最小值，
，，，，
，，，
作于，
则的最小值为，的最大值为，
．成绩
171及以下
172
173
174
175及以上
人数
3
8
6
5
2
男
女1
女2
男
女1、男
女2、男
女1
男、女1
女2、女1
女2
男、女2
女1、女2
价格/类别
短款
长款
进货价（元/件）
80
90
销售价（元/件）
100
120