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江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三上学期期初调研考试数学试题（原卷版）
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这是一份江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三上学期期初调研考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷考试时间：120分钟总分：150分
命题人： 审题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，若中只有1个元素，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. 2C. D. 5
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 设直线和圆相交于，两点，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
6. 的的展开式中的系数为（ ）
A. 30B. C. 20D.
7. 已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在年小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
B. 用不同模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
C. 随机变量X服从二项分布，若方差，则
D 随机变量服从正态分布，若，则
10. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数为周期函数
C. 函数为上的偶函数D.
11. 如图所示是某同学发现的一种曲线，由于形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 该曲线与最多存在3个交点
B. 如果曲线如题图所示（轴向右为正方向，轴向上为正方向），则
C. 存在一个，使得这条曲线是偶函数的图象
D. 当时，该曲线中的部分可以表示为关于的某一函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等差数列的前n项和为，且公差不为0，若成等比数列，，则__________．
13. 已知圆锥的顶点为S，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的体积为___________．
14. 若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
16. 某市为了解乡村振兴，农业农村现代化进程，对全市村庄进行全方位的摸底调研．根据调研成绩评定“要加油”“良好”“优秀”三个等级．现随机抽取个村庄的成绩统计结果如表：
（1）若调研成绩在分及以上认定为“优良”，抽取的个村庄中西部村庄的分布情况如表．完成列联表，并判断是否有的把握认为优良村庄与东西部位置有关？
（2）用分层抽样的方法，从评定为“要加油”“良好”“优秀”三个等级的村庄中随机抽取个进行细致调查，同时对相应等级进行量化：“优秀”记分，“良好”记分，“要加油”记 分．现再从抽取的个村庄中任选个村，所选村的量化分之和记为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
17. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，∠BCC1=60°,．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
18. 已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，顶点是坐标原点是圆与的一个交点，是上的动点，且在轴两侧，直线与圆相切，线段线段分别与圆相交于点.
（1）求的方程；
（2）面积是否存在最大值？若存在，求使的面积取得最大值的直线的方程；若不存在，请说明理由.
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
（1）写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
（2）任意，恒有成立，求实数的取值范围；
（3）正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
0
1
2
3
等级
要加油
良好
优秀
得分
频数
村庄位置
是否优良
总计
优良
非优良
东部村庄
西部村庄
总计
本卷考试时间：120分钟总分：150分
命题人： 审题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，若中只有1个元素，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. 2C. D. 5
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 设直线和圆相交于，两点，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
6. 的的展开式中的系数为（ ）
A. 30B. C. 20D.
7. 已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在年小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
B. 用不同模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
C. 随机变量X服从二项分布，若方差，则
D 随机变量服从正态分布，若，则
10. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数为周期函数
C. 函数为上的偶函数D.
11. 如图所示是某同学发现的一种曲线，由于形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 该曲线与最多存在3个交点
B. 如果曲线如题图所示（轴向右为正方向，轴向上为正方向），则
C. 存在一个，使得这条曲线是偶函数的图象
D. 当时，该曲线中的部分可以表示为关于的某一函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等差数列的前n项和为，且公差不为0，若成等比数列，，则__________．
13. 已知圆锥的顶点为S，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的体积为___________．
14. 若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
16. 某市为了解乡村振兴，农业农村现代化进程，对全市村庄进行全方位的摸底调研．根据调研成绩评定“要加油”“良好”“优秀”三个等级．现随机抽取个村庄的成绩统计结果如表：
（1）若调研成绩在分及以上认定为“优良”，抽取的个村庄中西部村庄的分布情况如表．完成列联表，并判断是否有的把握认为优良村庄与东西部位置有关？
（2）用分层抽样的方法，从评定为“要加油”“良好”“优秀”三个等级的村庄中随机抽取个进行细致调查，同时对相应等级进行量化：“优秀”记分，“良好”记分，“要加油”记 分．现再从抽取的个村庄中任选个村，所选村的量化分之和记为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
17. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，∠BCC1=60°,．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
18. 已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，顶点是坐标原点是圆与的一个交点，是上的动点，且在轴两侧，直线与圆相切，线段线段分别与圆相交于点.
（1）求的方程；
（2）面积是否存在最大值？若存在，求使的面积取得最大值的直线的方程；若不存在，请说明理由.
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
（1）写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
（2）任意，恒有成立，求实数的取值范围；
（3）正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
0
1
2
3
等级
要加油
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总计
优良
非优良
东部村庄
西部村庄
总计
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