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山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题（原卷版）
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这是一份山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，若复数与在复平面内对应的点关于原点对称，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，，若与方向相同，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A. －4B. －2C. 4D. 2
7. 某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ）
A. 32个B. 28个C. 27个D. 24个
8. 已知是函数两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象恒过某个定点
B. 在上单调递减，在上单调递增
C. 图象上存在两个不同的点关于轴对称
D. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是
10. 记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”，下列说法正确的是（ ）
A. 若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
B. 若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差
C. 若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D. 若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
11. 已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ）
A 若，则平面平面
B. 若，则与所成角的取值范围为
C. 若，则平面
D. 若，则线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 中国跳水队素有“梦之队”称号，在刚刚结束的2024巴黎奥运会上，中国跳水队取得了优异的成绩.其中单人跳水比赛的计分规则为：运动员做完一套入水动作后，由7位专业裁判进行打分，从打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，剩余3个分数的总和再乘以这套动作的难度系数即为该运动员的最终得分.若某位运动员在一轮比赛中入水动作的难度系数为3.2，7位裁判给他打出的分数分别为9.5、9.5、9、8、9、9.5、8.5，则这7个数据的方差为______，该运动员本轮比赛的得分为______．
13. 已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是______．
14. 已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间上任意两个自变量的值，，有，求实数的最小值．
16. 已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，．
（1）若，求的面积；
（2）若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围．
17 如图，已知四棱锥中，，，，，．
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为1，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，．如图，，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．
（1）若是边长为2的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
19. 某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：①常规时间分上、下半场，每个半场各30分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；②如果在常规时间内两队战平，则双方各派3名队员进行3轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；③如果点球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘汰赛阶段的比赛．
（1）假设在常规时间内甲队获胜的概率为，战平的概率为；在点球大战中甲队获胜以及战平的概率均为；在抽签环节，两队进入下一轮机会均等．已知在甲队进入下一轮的条件下，求他们是通过抽签进入下一轮的概率；
（2）点球大战中，当领先的一方提前获得比赛的胜利，则剩下的队员不再出场进行点球比赛（如甲方3∶1领先时，乙队的最后一名队员不必再出场比赛）．假设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，点球大战每一轮由甲队先踢．
（ⅰ）记两队点球决战一共出场的球员人数为，求的分布列与数学期望；
（ⅱ）求甲队在点球大战中获胜的概率．
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，若复数与在复平面内对应的点关于原点对称，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，，若与方向相同，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A. －4B. －2C. 4D. 2
7. 某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ）
A. 32个B. 28个C. 27个D. 24个
8. 已知是函数两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象恒过某个定点
B. 在上单调递减，在上单调递增
C. 图象上存在两个不同的点关于轴对称
D. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是
10. 记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”，下列说法正确的是（ ）
A. 若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
B. 若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差
C. 若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D. 若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
11. 已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ）
A 若，则平面平面
B. 若，则与所成角的取值范围为
C. 若，则平面
D. 若，则线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 中国跳水队素有“梦之队”称号，在刚刚结束的2024巴黎奥运会上，中国跳水队取得了优异的成绩.其中单人跳水比赛的计分规则为：运动员做完一套入水动作后，由7位专业裁判进行打分，从打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，剩余3个分数的总和再乘以这套动作的难度系数即为该运动员的最终得分.若某位运动员在一轮比赛中入水动作的难度系数为3.2，7位裁判给他打出的分数分别为9.5、9.5、9、8、9、9.5、8.5，则这7个数据的方差为______，该运动员本轮比赛的得分为______．
13. 已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是______．
14. 已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间上任意两个自变量的值，，有，求实数的最小值．
16. 已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，．
（1）若，求的面积；
（2）若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围．
17 如图，已知四棱锥中，，，，，．
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为1，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，．如图，，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．
（1）若是边长为2的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
19. 某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：①常规时间分上、下半场，每个半场各30分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；②如果在常规时间内两队战平，则双方各派3名队员进行3轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；③如果点球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘汰赛阶段的比赛．
（1）假设在常规时间内甲队获胜的概率为，战平的概率为；在点球大战中甲队获胜以及战平的概率均为；在抽签环节，两队进入下一轮机会均等．已知在甲队进入下一轮的条件下，求他们是通过抽签进入下一轮的概率；
（2）点球大战中，当领先的一方提前获得比赛的胜利，则剩下的队员不再出场进行点球比赛（如甲方3∶1领先时，乙队的最后一名队员不必再出场比赛）．假设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，点球大战每一轮由甲队先踢．
（ⅰ）记两队点球决战一共出场的球员人数为，求的分布列与数学期望；
（ⅱ）求甲队在点球大战中获胜的概率．
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