福建省泉州市部分地区2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（原卷版）

这是一份福建省泉州市部分地区2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（原卷版），共5页。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 复数在复平面内所对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量 满足， 则（ ）
A. B. 2C. 15D. 19
3. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为（ ）
A. 6.8B. 6.9C. 7D. 7.2
4. 已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A. 若、，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
5. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）
A. 的值为0.005B. 估计这组数据的众数为75分
C. 估计这组数据的第85百分位数为85分D. 估计成绩低于60分的有250人
6. 在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 7
7. 某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现的点数为奇数”，“出现的点数不大于3”，事件“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互对立事件B.
C. D.
8. 在正三棱柱中，为的中点，分别为线段，上的动点，且，则线段的长度的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.
9 已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 当时，最长
C. 当时，弦最短
D. 最短弦长
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D. 若，则向量在向量上的投影向量为
11. 在菱形中，，，将沿对角线折起，使点A至点（在平面外）的位置，则（ ）
A. 在折叠过程中，总有BD⊥PC
B. 存点，使得
C. 当时，三棱锥的外接球的表面积为
D. 当三棱锥的体积最大时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______．
13. 已知互不相等的4个正整数从小到大排序为．若这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为________．
14. 在圆台中，圆半径是2，母线，圆是的外接圆，，，则三棱锥体积最大值为______．
四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在中，，点E为中点，点F为上的三等分点，且靠近点C，设.

（1）用表示；
（2）如果，且，求.
16. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
（1）求第三局结束时乙获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率．
17. 如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点D是棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数:
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和80,90的概率:
（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.
19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若___________.
（1）求角B；
（2）若，点D在外接圆上运动，求的最大值.