专题29 求数列的通项公式10题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

这是一份专题29 求数列的通项公式10题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共19页。试卷主要包含了数列的通项公式，数列的递推公式等内容，欢迎下载使用。

1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式，就能求出这个数列的每一项．
一、单选题
1．（2024高二上·浙江嘉兴·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．17B．37C．107D．128
2．（2024·海南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为，则（ ）
A．650B．1050C．2550D．5050
3．（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
4．（2024·吉林通化·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，构成数列，其前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高三·全国·对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川南充·模拟预测）已知数列 满足：，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
8．（2024高二·全国·课后作业）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．n
9．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024高二下·河南·期中）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024高三下·安徽·阶段练习）在数列中，且，则它的前项和（ ）
A．B．C．D．
12．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（ ）
A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
13．（2024·云南昆明·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．B．1C．4043D．4044
14．（2024·云南玉溪·模拟预测）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．2
15．（2024高三上·福建龙岩·期末）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99B．103C．107D．198
二、填空题
16．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为 .
17．（2024高三·全国·对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为 ．
18．（2024·山东泰安·模拟预测）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是 ．
19．（2024高二上·河南·阶段练习）若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 .
20．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）若数列满足，则 .
21．（2024高三·全国·专题练习）数列满足，前16项和为540，则 ．
22．（2024高三·全国·专题练习）数列满足，前16项和为508，则 ．
23．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则的通项公式为 ．
24．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ．
25．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ．
三、解答题
26．（2024高三·全国·专题练习）已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式．
27．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求.
28．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是首项为.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
29．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}中，，，求{an}的通项.
30．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列中，，满足，设为数列的前项和．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
31．（2024高三·全国·专题练习）在数列{}中，求通项公式．
32．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
33．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
34．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，求．
35．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的通项公式．
36．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
37．（2024·江苏南通·模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
38．（2024·广东潮州·二模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
39．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
40．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和满足．
(1)写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式．
41．（2024·河北衡水·三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
42．（2024·海南海口·一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.
43．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，.证明：是等比数列.
44．（2024高三·全国·专题练习）已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，，
(1)求数列的通项；
(2)证明：.
45．（2024高三下·河北石家庄·阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
46．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知是数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
47．（2024高三·全国·专题练习）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
48．（2024·河北沧州·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
49．（2024·江西·三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
50．（2024高三·全国·专题练习）记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列；
51．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）为数列的前n项积，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式．
52．（2024·湖北·模拟预测）已知数列的前n项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
53．（2024高三下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前n项积.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项为，求的最小值.
54．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
55．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的通项公式．
56．（2024高三·全国·专题练习）数列满足：，求通项.
57．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：，求此数列的通项公式.
58．（2024·山东·模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，求的最小值．
59．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
60．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项积为，求和.
61．（2024高三上·安徽·阶段练习）已知正项数列满足：，，.
（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（2）若，设，，求数列的前项和.
62．（2024高二·江苏·专题练习）已知正项数列满足，设．
(1)求，；
(2)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)的通项公式，并求其前项和为．
63．（2024高三·福建福州·阶段练习）已知正项数列满足且．
（I）证明数列为等差数列；
（II）若记，求数列的前项和．
64．（2024高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
65．（2024·四川·一模）已知数列的各项均为正数，且满足.
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
66．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，设，求数列的通项公式.
67．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，且，求其通项公式．
（一）
观察法
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型1：观察法
1-1．（2024·湖南长沙·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．

A．12B．20C．55D．110
1-2．（2024·辽宁·三模）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．存在正数，使得恒成立D．
1-3．（2024高二上·山东聊城·期中）若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
71．（2024高三上·河北唐山·期中）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（ ）
A．B．
C．D．
（二）
1.累加法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
2.累乘法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
题型2：累加法
2-1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2-2．（2024·新疆喀什·模拟预测）若，则（ ）
A．55B．56C．45D．46
2-3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的通项为( )
A．B．
C．D．
2-4．（2024·四川成都·模拟预测）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型3：累乘法
3-1．（2024高二·全国·课后作业）数列中，，（为正整数），则的值为（ ）
A．B．C．D．
3-2．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知 ， 则 （ ）
A．506B．1011C．2022D．4044
3-3．（2024高一下·青海西宁·阶段练习）已知数列满足，且，则( )
A．B．C．D．
（三）
待定系数法
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：求出 ，再可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再求出．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在通过累加法，求出之后得．
题型4：待定系数法
4-1．（2024·四川乐山·三模）已知数列满足，，则 ．
4-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知：，时，，求的通项公式．
（四）
同除法
对于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均为常数)型
方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn ),将递推关系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn )解得x＝ eq \f(c,p－q),则由原递推公式构造出了an＋1＋ eq \f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋ eq \f(c,p－q)·qn )，而数列{an＋ eq \f(c,p－q)·qn}是以a1＋ eq \f(c,p－q)·q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效）
方法二：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以,则有 eq \f(an+1,pn+1) ＝ eq \f(an,pn) ＋ eq \f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。
方法三：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以qn+1，则有，然后利用待定系数法求解。
题型5：同除法
5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
（五）
取倒数法
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
题型6：取倒数法
6-1．（2024高三·全国·对口高考）数列中，，，则 ．
6-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.
6-3．（2024高三·全国·专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式．
（六）
取对数法
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型7：取对数法
7-1．（2024高三·全国·专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式．
7-2．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有．
（七）
已知通项公式与前项的和关系求通项问题
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．
题型8：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
8-1．（2024·青海西宁·二模）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
8-2．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8B．6C．－5D．4
8-3．（2024·陕西渭南·二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为 .
8-4．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知，，求数列的前20项和.
（八）
周期数列
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型9：周期数列
9-1．（2024高二上·黑龙江·期中）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
9-2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
9-3．（2024高二上·河南周口·阶段练习）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
9-4．（2024高二上·吉林·期末）已知数列满足：，，，，则（ ）.
A．B．C．1D．2
（九）
前n项积型
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
题型10：前n项积型
10-1．（2024·福建南平·模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
10-2．（2024高二上·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
10-3．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.