22.3 第3课时 抛物线形实物问题-2024-2025学年九年级数学上册教材配套同步课件（人教版）

抛物线形实物问题22.3 实际问题与二次函数| 第3课时|课堂导航运用二次函数解决实际问题能选择适当的方法建立平面直角坐标系知识准备1. 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系 h = 20t - 5t2.考虑以下问题：(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？(2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？h = 20t - 5t2(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？解：令 15 = 20t - 5t2，即 t2 - 4t + 3 = 0，解得 t1 = 1，t2 = 3.故当小球飞行 1 s或 3 s 时，它的高度为 15 m.h = 20t - 5t2(-2, -2)(2, -2)新知探究活动一 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？(0, 0)活动一 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？(2, -2)(0, 0)建立如图直角坐标系， 设抛物线 y = ax2把 A (2，-2) 代入得知识要点3二次函数解实际问题的思路实际问题二次函数二次函数的图象和性质解决实际问题最值问题 y = a(x − h)2 + k 已知 y，求 x 令y，解一元二次方程 已知 x，求 y 把 x 代入解析式，求 y建系数形结合新知探究活动一 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？x y = a(x − h)2 + k或 y = ax2 + bx y = ax2 y = ax2 + k典例讲解例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外.当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0).解：设右边抛物线的解析式为 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入点 A 的坐标，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25.例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ (1.5，3.05)(0，3.5)所以该抛物线的解析式为 y =－0.2x2 + 3.5.当 x = －2.5 时，y = 2.25 .故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m.解得 解：设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = ax2 + k. 而点 A，B 在这条抛物线上，所以有课堂小结二次函数解实际问题的思路实际问题二次函数二次函数的图象和性质解决实际问题最值问题 y = a(x − h)2 + k 已知 y，求 x 令y，解一元二次方程 已知 x，求 y 把 x 代入解析式，求 y建系数形结合课堂练习解：建立如图直角坐标系，设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax2.∵ 该抛物线过点 (10，−4)，∴ −4 = 100a，故 a = −0.04.∴ y = −0.04x2.1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式.20 m 解：根据题意，得 C (0，4).∴这辆货车能安全通过.∴ 对称轴为 x＝6.由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点坐标为 (2，0) 或 (10，0)，63. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为 0.5 m.(1) 若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数解析式；(2) 计算距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长.(1) 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，故可设其对应的函数解析式为 y = ax2 + 0.5.又抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得81.5 = a • 4502 + 0.5.解得故所求函数解析式为(2)解：当 x = 450－100 = 350 时，得当 x = 450－50 = 400 时，得即距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长分别为 49.5 m、64.5 m.