北师大版（2024）八年级上册6 实数精品学案设计

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（一）实数
1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）
2、无理数的三种常见类型
①含根号且开不尽方的数；
②化简后含的数；
③有规律但不循环的无限小数，例如：1.010010001···每两个1之间依次增加一个
3、实数：有理数和无理数统称为实数。
4、实数的分类
①按定义分类：

②按正负性分类：

5、非负实数：正实数和0统称为非负实数（非负数），即 X≥0
6、非正实数：负实数和0统称为非正实数，即 X≤0
7、实数与数轴上的点一一对应。
8、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）
9、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
10、实数大小：
（1）正数> 0 > 负数；
（2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大；
（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。
实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法······
11、常用公式：①；②
（二）平方根与立方根
1、平方根
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。
如果，那么x叫做a的平方根.记作“”，且a≥0即X=
（2）表示：非负数a的平方根记作± ，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）
（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根。
（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。
Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、 开平方与平方互为逆运算。
2、算术平方根
（1）定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。
例如：a的算术平方根.记作“”，且a≥0 即X=
（2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性； 即：≥0恒成立。
（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根
3、开平方公式
①
② 且 a≥0
4、①求11~20的平方值：112=121，122=144，132=169，142=196，152=225，162=256，172=289，182=324，192=361，202=400
②常用算数平方根估值：， ，
5、立方根：
定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。如果，那么x叫做a的立方根，记作“”.即X=
（2）表示：a的立方根记作，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数）
（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。
6、开立方公式
①，②，③
（三）二次根式
1、二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
2、取值范围
①二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
②二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
3、二次根式的性质
①（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如：若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
②（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
③
即：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
（Ⅰ）化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
（Ⅱ）中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
（Ⅲ）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
（Ⅳ）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（Ⅴ）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
④公式与（）的异同点
（Ⅰ）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
（Ⅱ）相同点：和的运算结果都是非负的．当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
4、最简二次根式
①被开方数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
5、二次根式的乘法和除法
①积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·（a≥0，b≥0）
②二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0，b≥0）
③商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
=（a≥0，b>0）
④二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=（a≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
6、二次根式的加法和减法
（1） 同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2） 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
7、二次根式的混合运算
①确定运算顺序
②灵活运用运算定律
③正确使用乘法公式
④大多数分母有理化要及时
⑤在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
8、分母有理化
（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
（3）分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如：
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如：
注意：①根式中不能含有分母；②分母中不能含有根式。
9、根式比较大小
①根式变形法 当时， = 1 \* 3 ①如果，则； = 2 \* 3 ②如果，则。
②平方法 当时， = 1 \* 3 ①如果，则； = 2 \* 3 ②如果，则。
③分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
④分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
⑤倒数法
⑥媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
⑦作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质： = 1 \* 3 ①； = 2 \* 3 ②
⑧求商比较法
运用如下性质：当a>0，b>0时，则：；