2025高考数学一轮复习-7.3.2-离散型随机变量的方差【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.3.2-离散型随机变量的方差【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理，题型探究，方差的应用，随堂练习，对点练习等内容，欢迎下载使用。
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
知识点一　离散型随机变量的方差、标准差
我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称D(X)＝ 为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为 随机变量X的标准差(standard deviatin)，记为σ(X).
(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－
E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi
知识点二　离散型随机变量方差的性质
1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ .2.D(c)＝0(其中c为常数).
1.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(　　)2.若a是常数，则D(a)＝0.(　　)3.离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.(　　)
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
一、求离散型随机变量的方差
例1　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、均值和方差；
解　由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.
跟踪训练1　已知随机变量ξ的分布列如下表：
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η).
例2　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).
解　E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)D(Y)，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些.
三、分布列、均值、方差的综合应用
例3　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 .(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差.
解　由题意，得X的所有可能取值为0,1,2，
跟踪训练3　有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝xy，求：(1)X所取各值的分布列；
解　由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,4.“X＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，
“X＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，
“X＝4”是指两次取的卡片上都标着2，
“X＝1”是指两次取的卡片上都标着1，
(2)随机变量X的均值与方差.
1.设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为A.2 B.3 C.4 D.5
解析　D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
3.(多选)下列说法中错误的是A.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
解析　E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度.
4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝___，b＝___.
解析　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
1.随机变量X的方差，反映其取值的A.平均水平 B.分布规律C.波动大小 D.最大值和最小值
2.(多选)已知X的分布列为 则
3.由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为  现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好A.甲 B.乙C.甲、乙均可 D.无法确定
解析　∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)