2025高考数学一轮复习-10.8-二项分布与超几何分布【课件】

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ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(1)伯努利试验____________________的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为________________.
1.伯努利试验与二项分布
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝____，D(X)＝______________.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝______，D(X)＝________________.
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝____，D(X)＝______.
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.(　　)(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　)(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.(　　)(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.(　　)
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
2.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
解析　假设甲取胜事件为A，设每次甲胜的概率为p，
解析　甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，
解析　对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
5.某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　)A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误.
解析　∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X6.(易错题)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(XKAODIANTUPOTIXINGPOUXI
解　用Ai表示第i位同学选择A组合，用Bi表示第i位同学选择B组合，用Ci表示第i位同学选择C组合，i＝1，2，3.由题意可知，Ai，Bi，Ci互相独立，
(1)求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率；
(2)记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望.
解　设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值.解　在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为
例2 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
所以随机变量X的分布列为
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X).解　随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4.
解　令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
训练2 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E(X).
例3 (1)为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)
又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.96，
解析　因为数学成绩X服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.68，
(2)(多选)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(　　 )附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.A.若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35
解析　对于选项A：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正确，C不正确；
训练3 在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示.
∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5，14.312)，而P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝P(56.19＜z＜84.81)≈0.682 7，
∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为635.
又0.158 7×4 000＝634.8≈635.
解　全市竞赛考生的成绩不超过84.81分的概率p≈1－0.158 7＝0.841 3.
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).(精确到0.001)
而ξ～B(4，0.841 3)，
二项分布与超几何分布的区别与联系
1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.
例1 写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数.
(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件数为X2.
(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X3(N－M＞n＞0).解　X3的分布列为
例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).
解　质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
解　质量超过505的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布.
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
2.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)
解析　记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，
3.一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　)
解析　由题意得σ＝5，则P(80－5≤X≤80＋5)≈0.682 7，所以P(75≤X≤85)≈0.682 7；P(80－10≤X≤80＋10)≈0.954 5，所以P(70≤X≤90)≈0.954 5.
4.据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为(　　)附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. 7 3 6 5
解析　∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴正态曲线关于x＝100对称，且E(X)＝100，D(X)＝102＝100，根据题意可得，P(90≤X≤110)≈0.682 7，P(80≤X≤120)≈0.954 5，
5.(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是(　　)(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)A.E(X)＝100 B.D(X)＝100C.P(X＞90)≈0.841 35 D.P(X＜120)≈0.998 65
而A，B都正确.故选ABC.
6.(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是(　　)
解析　设此人答对题目的个数为ξ，
解析　随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5.由P(X＞1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.3.
7.已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，则P(X＜0)＝________.
解析　设击中目标的次数为X，则X～B(3，0.6).故P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
8.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________.
解析　由题意，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，
9.一个箱子中装有形状、大小完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球.现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝________.
解　随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
10.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为X，Y，写出随机变量X，Y的分布列；
随机变量Y的所有可能取值为1，2，3，
所以随机变量Y的分布列为
因为事件A，B相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
解　记第i名用户选择的应用是“农场”、“音乐”、“读书”分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.
(2)记ξ为三人中选择的应用是“农场”与“音乐”的人数，求ξ的分布列和期望.
解析　由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：①后4个数出现0，X＝0，记其概率为
因为P(X＞3)＝0.158 65，所以P(－1≤X≤3)＝0.682 7，所以1－σ＝－1，1＋σ＝3，所以σ＝2，由题意知，只需圆心(0，0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d满足0≤d＜1即可.
13.若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，设X～N(1，σ2)，且P(X≥3)＝0.158 65，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是____________.
∴0≤|c|＜13，∴－13＜c＜13，∴c的取值范围是(－13，13).
解　由题意可知，所求概率
设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大.解　设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.