2025高考数学一轮复习-第7章-计数原理-章末检测【课件】

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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是
解析　(x－y)n的二项展开式中第m项为
A.5 B.7 C.6 D.8
∴n＋1＝3＋4，解得n＝6.
3.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是A.56 B.65 C.30 D.11
解析　第一名同学有5种选择方法，第二名同学有5种选择方法，……，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法.
4.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有
5.(1＋x)3(1－2x)的展开式中含x3的项的系数为A.－5 B.－4 C.6 D.7
解析　因为(1＋x)3(1－2x)＝(1＋x)3－2x(1＋x)3，
6.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有A.24种 B.36种 C.48种 D.72种
7.在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是A.120 B.204 C.168 D.216
8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有A.360种 B.50种 C.60种 D.90种
解析　①甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)，②甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.下列问题是排列问题的为A.高二(1)班选2名班干部去学校礼堂听团课B.某班40名同学在假期互发微信C.从1,2,3,4,5中任取两个数字相除D.10个车站，站与站间的车票
解析　A中，不存在顺序问题，不是排列问题；B中，存在顺序问题，是排列问题；C中，两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；D中，车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题.
10.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有
解析　因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；
11.我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展(X)、体艺特长(T)、实践创新(S)、生涯规划(C)、国际视野(I)、公民素养(G)、大学先修(D)、PBL项目课程(P)八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则A.某学生从中选3类，共有56种选法
12.(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为A.a＝1，b＝2，n＝5 B.a＝－2，b＝－1，n＝6C.a＝－1，b＝2，n＝6 D.a＝－1，b＝－2，n＝5
解析　只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
解析　由题意可知2n＋6＝20－(n＋2)，解得n＝4.
14.某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为_____.
16.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有____种.
解析　根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论：
综上可知，一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列情况.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)把n个正整数全排列后得到的数叫作“再生数”，“再生数”中最大的数叫作最大再生数，最小的数叫作最小再生数.(1)求1,2,3,4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；
(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.
解　需要考查5个正整数中相同数的个数.
若5个正整数全相同，则有1个再生数.所以总个数为120＋60＋20＋5＋1＝206.
18.(12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
解　将取出的4个球分成三类：
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
19.(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会.(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？
(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？
解　方法一　(直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类：1内4外；2内3外；3内2外；4内1外.
由2a1＝a0＋a2，得m2－9m＋8＝0，解得m＝8或m＝1(舍去)，
21.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
解　将组成的三位数中所有偶数分为两类：
②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)符合题意的三位数.故共有12＋18＝30(个)符合题意的三位数.
(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
解　将这些“凹数”分为三类：
故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”.
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
解　将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在万位和百位上，
②若两个奇数数字在千位和十位上，
③若两个奇数数字在百位和个位上，
故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数.
22.(12分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
即m＋n＝7， ①f(x)中的x2的系数为
将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数为
故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.
(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)
解　f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3
又r∈N*，∴r＝5或6，此时，b＝7×28，