2025高考数学一轮复习-第36讲-空间直角坐标系与空间向量【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第36讲-空间直角坐标系与空间向量【课件】，共56页。PPT课件主要包含了激活思维，－10116，聚焦知识，a＝λb，p＝xa＋yb，p＝xa＋yb＋zc，一个基底，常用结论，举题说法，答案3等内容，欢迎下载使用。

1．已知点M在z轴上，且点M到点A(1，0，2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是(　　)A．(0，0，3)B．(0，0，2)C．(0，0，－2)D．(0，0，－3)
3．已知直线l的一个方向向量为m＝(x，2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1，2)，若l∥α，则x＝(　　)A．－6B．6C．－4D．4
由题知m·n＝3x－2－10＝0，可得x＝4.
4．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则3a－b＝_________________，a·b＝_____．
因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，所以3a－b＝(－9，6，15)－(1，5，－1)＝(－10，1，16)，a·b＝－3＋10－5＝2.
1．空间向量中的有关定理(1) 共线向量定理空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得_________．(2) 共面向量定理共面向量定理的向量表达式：_____________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．(3) 空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_________________，{a，b，c}叫做空间中的____________．
2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
3．空间位置关系的向量表示
空间向量的线性运算及共线、共面定理
空间向量数量积的运算及应用
变式　如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为_______．
如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．(1) 求证：OM∥平面BCF；
利用空间向量证明平行与垂直问题
由题意知AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．(2) 求证：平面MDF⊥平面EFCD.
设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
同理可得n2＝(0，1，1).因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD.
变式　如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.用向量方法证明：(1) EF∥平面ABCD；
以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
变式　如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.用向量方法证明：(2) 平面PAD⊥平面PDC.
因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.
如图，连接DC1，CD1，则CD1∩DC1＝M.
2．已知点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x的值为(　　)A．－4B．1C．10D．11
4．如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．(1) 求证：AE⊥BC；
4．如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．(2) 求直线AE与DC所成角的余弦值．
A组　夯基精练一、 单项选择题1．已知直线l的方向向量为l，平面α与β的法向量分别为m，n，则下列选项正确的是(　　)A．若l⊥α，则l·m＝0B．若l∥β，则l＝knC．若α⊥β，则m·n＝0D．若α∥β，则m·n＝0
2．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，3，2)，c＝(1，t，－1)共面，则实数t的值是(　　)A．1B．－1C．2D．－2
因为a，b，c共面，所以存在x，y∈R，使得c＝x a＋y b，整理得(1，t，－1)＝(－2x－y，x＋3y，3x＋2y)，解得x＝－1，y＝1，t＝2.
3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，设BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为(　　)
如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝O，A1B2＝A1A2＋AB2－2AA1·AB cs ∠A1AB，A1D2＝A1A2＋AD2－2AA1·AD cs ∠A1AD，因为AB＝AD，∠A1AB＝∠A1AD，所以A1B＝A1D，故A1O⊥BD，又AC⊥BD，A1O∩AC＝O，A1O，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，
由于AA1⊂平面ACC1A1，故BD⊥AA1，由于AA1∥BB1，进而BD⊥BB1，所以平行四边形BDD1B1为矩形，故A正确；
三、 解答题8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF.(1) 求证：D1C∥平面EMN；
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝2a，DC＝2b，DD1＝2c，如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2a，0，0)，C(0，2b，0)，B(2a，2b，0)，D1(0，0，2c)，A1(2a，0，2c)，C1(0，2b，2c)，B1(2a，2b，2c)，则M(2a，b，0)，N(a，2b，0)，E(2a，0，c)，F(0，b，2c).
8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF.(2) 求证：E，F，N，M四点共面．
(1) 求证：EF∥平面PAD；
设AD＝a，如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD.
(2) 求证：平面PAB⊥平面PDC.
10．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1) 求线段AC1的长；
10．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(2) 求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
10．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(3) 求证：AA1⊥BD.
B组　滚动小练11．已知a，b为正实数，且ab－3(a＋b)＋8＝0，则ab的取值范(　　)A．[2，4]B．(0，2]∪[4，＋∞)C．[4，16]D．(0，4]∪[16，＋∞)