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初中数学华东师大版（2024）八年级上册4 角边角优质ppt课件
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这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册4 角边角优质ppt课件，共22页。PPT课件主要包含了教学目标，新知导入，新知讲解，典例讲解，巩固练习，请补充完整证明过程，归纳定理，特别提醒，角边角，判定定理等内容，欢迎下载使用。
1、理解和掌握全等三角形的判定方法和 2、用和证明两个三角形全等. 3、用综合法解决几何推理.
问题：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去呢？你能帮这位同学出主意吗？
前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到了全等三角形的一种判定方法.
现在，我们讨论两角一边的情况:如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？
如图，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角，这条线段为这两个角的夹边.
步骤:1.画一条线段AB，使它等于3 cm；2．画∠MAB = 60°，∠NBA = 40°，MA与NB 交于点 C.△ABC 即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合. 所画的三角形都全等吗？
△ABC与△A′B′C′ 重合，说明这两个三角形全等.
基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
“角边角”判定定理用符号语言表示为:
例如: 在△ABC 和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′ ()
例1 如图，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC。求证:△ABC≌△DCB，AB=DC.证明：在△ABC和△DCB中，∵∠ABC=∠DCB(已知)， BC = CB(公共边)，∠ACB=∠DBC(已知)，∴△ABC≌△DCB( ).∴AB = DC(全等三角形的对应边相等）
1. 如图，∠A =∠B，CA =CB，△CAD和△CBE全等吗？ CD 和 CE 相等吗？试说明理由.
解: △CAD ≌△CBE，CD＝CE．理由: 在△CAD 和△CBE 中，∵∠C＝∠C，CA＝CB，∠A＝∠B，∴△CAD ≌△CBE ()，∴CD ＝CE.
2.如图，AB//CD，AE//CF ，BF = DE. 试找出图中 其他的相等关系，并给出证明.
解: ∵AB // CD ；AE // CF；∴∠B=∠D, ∠A=∠C.提示: 利用已知条件证明 △ABE≌△CDF.
例2、已知:如图，∠A=∠A'，∠B=∠B'BC = B'C'.求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明：∵∠A =∠A'， ∠B=∠B'(已知) ,∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠A+∠B+∠C'=180°(等量代换).又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠C =∠C'(等式的性质).
在△ABC和△A'B'C'中，____________________________________________________________________________________________________________________________
∵∠B =∠B' （已知）， ∠C=∠C' （已知）, BC = B'C' （已证），∴△ABC≌△A'B'C' （ASA）.
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为 A.A.S（或角角边）.
“角边角”中的边必须是两组对应相等的角的夹边．
“角角边”中的边是其中一组等角的对边．
例3 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE//AB，交AD的延长线于点E，求证:AD=ED.
证明：∵CE // AB(已知),∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).在△ABD与△ECD中，∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(已证)，BD=CD(已知),∴△ABD≌△ECD( ),∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).
例4 求证:全等三角形对应边的高相等.已知:如图，△ABC≌△A'B'C', AD、A'D'分别是△ABC的BC边和△A'B'C'的B'C'边上的高.求证:AD=A'D'.
分析：从图中可以看出，AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D',要证AD=A'D',只需证明这两个三角形全等即可.
证明: ∵△ABC≌△A'B'C' (已知)，∴AB = A'B'(全等三角形的对应边相等)，∠B =∠B'(全等三角形的对应角相等). .在△ABD和△A'B'D'中,
∵∠ADB=∠A'D'B'=90°(已知)，∠B =∠B'(已证),AB = A'B' (已证),∴△ABD≌△A'B'D'( ),∴AD=A'D'(全等三角形的对应边相等).
你发现AD、A'D'分别是哪两个三角形的边?这两个三角形全等吗?
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？
△ABC≌△A′B′C′
AD、AD′分别是对应边上中线
AD = AD′ 是中线
BD、BD′分别是对应角的平分线
BD = BD′ 是中线
应用角边角、角角边判定三角形全等
应用角边角、角角边解决问题
1. 如图，∠1=∠2，∠C = ∠D. 求证: AC = AD.
证明:在△ABC 和△ABD 中，∵∠1＝∠2，∠C＝∠D ，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD ()，∴AC＝AD ．
1、理解和掌握全等三角形的判定方法和 2、用和证明两个三角形全等. 3、用综合法解决几何推理.
问题：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去呢？你能帮这位同学出主意吗？
前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到了全等三角形的一种判定方法.
现在，我们讨论两角一边的情况:如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？
如图，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角，这条线段为这两个角的夹边.
步骤:1.画一条线段AB，使它等于3 cm；2．画∠MAB = 60°，∠NBA = 40°，MA与NB 交于点 C.△ABC 即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合. 所画的三角形都全等吗？
△ABC与△A′B′C′ 重合，说明这两个三角形全等.
基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
“角边角”判定定理用符号语言表示为:
例如: 在△ABC 和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′ ()
例1 如图，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC。求证:△ABC≌△DCB，AB=DC.证明：在△ABC和△DCB中，∵∠ABC=∠DCB(已知)， BC = CB(公共边)，∠ACB=∠DBC(已知)，∴△ABC≌△DCB( ).∴AB = DC(全等三角形的对应边相等）
1. 如图，∠A =∠B，CA =CB，△CAD和△CBE全等吗？ CD 和 CE 相等吗？试说明理由.
解: △CAD ≌△CBE，CD＝CE．理由: 在△CAD 和△CBE 中，∵∠C＝∠C，CA＝CB，∠A＝∠B，∴△CAD ≌△CBE ()，∴CD ＝CE.
2.如图，AB//CD，AE//CF ，BF = DE. 试找出图中 其他的相等关系，并给出证明.
解: ∵AB // CD ；AE // CF；∴∠B=∠D, ∠A=∠C.提示: 利用已知条件证明 △ABE≌△CDF.
例2、已知:如图，∠A=∠A'，∠B=∠B'BC = B'C'.求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明：∵∠A =∠A'， ∠B=∠B'(已知) ,∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠A+∠B+∠C'=180°(等量代换).又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠C =∠C'(等式的性质).
在△ABC和△A'B'C'中，____________________________________________________________________________________________________________________________
∵∠B =∠B' （已知）， ∠C=∠C' （已知）, BC = B'C' （已证），∴△ABC≌△A'B'C' （ASA）.
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为 A.A.S（或角角边）.
“角边角”中的边必须是两组对应相等的角的夹边．
“角角边”中的边是其中一组等角的对边．
例3 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE//AB，交AD的延长线于点E，求证:AD=ED.
证明：∵CE // AB(已知),∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).在△ABD与△ECD中，∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(已证)，BD=CD(已知),∴△ABD≌△ECD( ),∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).
例4 求证:全等三角形对应边的高相等.已知:如图，△ABC≌△A'B'C', AD、A'D'分别是△ABC的BC边和△A'B'C'的B'C'边上的高.求证:AD=A'D'.
分析：从图中可以看出，AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D',要证AD=A'D',只需证明这两个三角形全等即可.
证明: ∵△ABC≌△A'B'C' (已知)，∴AB = A'B'(全等三角形的对应边相等)，∠B =∠B'(全等三角形的对应角相等). .在△ABD和△A'B'D'中,
∵∠ADB=∠A'D'B'=90°(已知)，∠B =∠B'(已证),AB = A'B' (已证),∴△ABD≌△A'B'D'( ),∴AD=A'D'(全等三角形的对应边相等).
你发现AD、A'D'分别是哪两个三角形的边?这两个三角形全等吗?
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？
△ABC≌△A′B′C′
AD、AD′分别是对应边上中线
AD = AD′ 是中线
BD、BD′分别是对应角的平分线
BD = BD′ 是中线
应用角边角、角角边判定三角形全等
应用角边角、角角边解决问题
1. 如图，∠1=∠2，∠C = ∠D. 求证: AC = AD.
证明:在△ABC 和△ABD 中，∵∠1＝∠2，∠C＝∠D ，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD ()，∴AC＝AD ．
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