河南省信阳高级中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省信阳高级中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了 给出下列式子等内容，欢迎下载使用。

考试时间：100分钟 满分：120分
一､单选题（每题3分，共30分）
1. 三个有理数在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据各点在数轴上的位置判断出的大小关系和符号，再去绝对值去括号，合并同类项即可.
【详解】由在数轴上表示的位置，可得，
.
故选：C.
2. 若三角形的三条边长分别为且，则这个三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】将因式分解为，求得或，然后根据等腰三角形的定义即可判断.
【详解】因为，所以，
即，所以或，
所以这个三角形一定是等腰三角形.
故选：A
3. 给出下列式子：（a），（b），（c），（d）.其中正确的是（ ）
A （a）（c）B. （b）（d）C. （a）（d）D. （c）（d）
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角可求相应的三角函数值，故可得正确的选项.
【详解】对于（a）：，故（a）错误；
对于（b）：，故（b）正确；
对于（c）：，故（c）错误；
对于（d）：，故（d）正确；
故选：B.
4. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ）
A. 9B. 8C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数.
【详解】，共6个元素.
故选：C.
5. 如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接，延长交于，可证，求出的长度后可求的长度.
【详解】
如图，连接，延长交于，则，
由正方形和正方形可得，
故即，
而，
而为的中点，故，
故选：B
6. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线.则下列结论中错误的是（ ）

A.
B.
C.
D. 若直线与相交，其交点个数为2或3或4
【答案】C
【解析】
【分析】A选项，根据图象开口方向与对称轴，确定的正负，由图象与轴交点确定，A正确；B选项，当时，，又，相加得到B正确；C选项，由和得到；D选项，画出的图象，数形结合得到D正确.
【详解】A选项，图象开口向上，故，对称轴，故，
由图象与轴交于轴负半轴，故，故，A正确；
B选项，由于图象与轴的一个交点为，故另一个交点为，
故当时，，又，故，即，B正确；
C选项，由于图象与轴的一个交点为，故，
又，故，即，，C错误；
D选项，的图象如下，

显然，直线与的交点个数为2或3或4，D正确；
故选：C
7. 已知直线向下平移2个单位后经过点，若点关于轴的对称点为，则点位于直线（ ）上
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意先将已知直线平移后得到，再代入点，求出点，然后再由对称性得到，最后代入直线方程验证即可.
【详解】由题意可知，把直线向下平移2个单位后可得直线，
又点在该直线上，
代入可得，
所以点，
又点关于轴的对称点为，可得，
代入可得D选项正确，
故选：D.
8. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转45度后得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当AB绕点A逆时针旋转45度后，刚好落在正方形对角线AC上，可求三角形对角线与边长的差，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，从而可求四边形的周长．
【详解】连接，∵旋转角，，∴在对角线AC上，
∵，用勾股定理得，∴，
在等腰中，，
由勾股定理得，∴，
∴四边形的周长是．
故选：B
9. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出，则，根据圆周角定理求出，再根据三角形的外角的性质求解即可．
【详解】解：为的直径，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
10. 如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（ ）

A. B. C. 1D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得和点关于轴的对称点，求得，结合三点共线，即可求解.
【详解】为光线满足的函数关系式为，
令，可得，即点，
又因为，则点关于轴的对称点为，
可得的斜率为，
因为三点共线，可得，所以.
故选：A.

二､填空题（每题3分，共15分）
11. 石墨烯目前是世界上最薄､最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，则数0.00000000034用科学记数法表示为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合科学记数法即可得结果.
【详解】根据题意可得：数0.00000000034用科学记数法表示为.
故答案为：.
12. 同时掷两枚骰子，点数一共有__________种可能，掷的点数都是2的可能性是__________.
【答案】 ①. 36 ②.
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理及古典概型计算.
【详解】同时掷两枚骰子，点数一共有种可能,
掷的点数都是2的可能性是.
故答案为：.
13. 设是方程的两个实数根，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理代入求解计算即可.
【详解】因为是方程的两个实数根，所以，
所以.
故答案为：
14. 已知二次函数的图象与轴交于不同的两点，顶点为点，且，则代数式的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由根的判别式得到，设，则，结合顶点坐标，表达出，得到不等式，求出，得到答案.
【详解】因为二次函数的图象与轴交于不同的两点，开口向上，
所以，，
设，则，
则，
又，故，
解得，即，
综上，
故答案为：
15. 如图，为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点处，已知入射角为，则的度数是__________度.
【答案】38
【解析】
【分析】作出法线，得入射角，求出，利用两直线平行的性质即可求得.
【详解】
依题意，如图，过点作法线，则，,
因,则.
故答案为：38.
三､解答题（75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用根式计算即可得出结果；
（2）利用分数指数幂以及绝对值和三角函数值计算可得结果.
【小问1详解】
易知，
所以
【小问2详解】
显然，
所以.
17. 宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地.已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间满足一种函数关系，售价（元/件）与（万件）的对应关系如表：
（1）求该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间的函数关系式；
（2）2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元.
（i）求2023年该特产的售价；
（ii）该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）（i）28元；（ii）该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大为110万元
【解析】
【分析】（1）由函数类型，利用待定系数法求出答案即可；
（2）（i）由盈利16万元，通过利润的算式求解售价；（ii）把利润表示为售价的函数，利用二次函数的性质，解决最大值问题.
【小问1详解】
由表格知，售价每增加1元，年销售量减少1万件，则y与x的函数关系式为一次函数，
设该产品每年销售量（万件）与售价（元/件）之间的函数关系式为，
则，解得
每年的销售量（万件）与售价x元件）之间的函数关系式为.
【小问2详解】
（i）由题意得，解得：，
销售单价定为25元到30元之间，，
年该特产的售价为28元；
（ii）设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意得：
，
且，
当或30时，的值最大，最大值为（万元），
该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是110万元.
18. 如图，一次函数与函数的图象交于两点，轴于轴于.
（1）求的值：
（2）连接，求的面积：
（3）在轴上找一点，连接，使周长最小，求点坐标.
【答案】（1）6 （2）8
（3）
【解析】
【分析】（1）由在直线上，代入解出，再代入函数里，解出即可；
（2）过点作轴于点，利用图象面积间关系解出即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，由轴对称的性质可知此时最小，再求出直线的方程后令可得点坐标.
【小问1详解】
由题意可知在一次函数的图象上，
所以，
解得：，即.
又也在函数的图象上
所以，解得：；
【小问2详解】
如图，过点作轴于点.
因为，所以.
又
，
所以；
【小问3详解】
如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点.
由轴对称的性质可知，且此时最小，
即.
设直线的解析式为，
所以，解得：，
所以直线的解析式为，
当时，即.
19. 游泳是中考体育必考项目之一，男子100米满分是144秒，女子100米满分是151秒，在一次中学生100米游泳测试中，选取了100人进行测试，其中男女学生各50人，男女分组进行测试，每组10人.随机抽取了男女各一组学生的成绩进行分析，数据如下：每个学生的成绩统计表：
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空，为该组男生成绩中位数，则__________；
（2）应用你所学的统计，计算该100名学生中大约有多少人会取得满分成绩；
（3）若从以上两组中各派2名成绩最好的学生进行抽签，由抽签决定谁去参加比赛，则刚好抽到一男一女的概率是多少？请用表格法或树状图表示.
【答案】（1）142 （2）75人
（3）
【解析】
【分析】（1）把已知数据从小到大排序，由为该组男生成绩的中位数，求值即可；
（2）利用样本中的频率，计算总体中的频数；
（3）列表法求事件的概率.
【小问1详解】
把已知数据从小到大排序：，
又为该组男生成绩的中位数，结合中位数定义，则必有；
【小问2详解】
由题设表格知：人；
【小问3详解】
列表如下（被抽到2人有先后），
如上表所示，共有12种等可能出现的结果，其中为一男一女的共有8种情况，
所以，即抽到的学生是一男一女的概率为：.
20. 已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式得集合和，由，得 ，得不等式组，求解得实数的取值范围；
（2）由，得，求解得实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意知，
，
因为，所以 ，
解得，
即实数的取值范围为；
【小问2详解】
由（1）知，，
，
，解得，
即实数取值范围是.
21. 如图，内接于为的直径，过点作的切线，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点，延长，交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆的切线性质推得，由平行线的判定得，再由平行线的性质得，又由，得，即得结论；
（2）通过作于点，可证明四边形是矩形，由求出圆的半径长，最后借助于勾股定理求出长即得长.
【小问1详解】

如图1，连接，
是的切线，，
，
；
【小问2详解】

如图2，过点作于点，连接,
因，则
由可得，四边形是矩形，
，
在中，
故.
22. 小蕾同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形.如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求弧EG的长；
（3）直接写出图中阴影部分面积之和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）由，结合题意即可求弧长；
（3）由题意可得，以及，即可求解．
【小问1详解】
将点A的坐标代入函数表达式得：，
所以反比例函数的表达式为，
【小问2详解】
由题意，得点A和点关于点对称，则，
而，则，
所以弧EG的长.
【小问3详解】
由题意得：，则
同理可得：，
所以图中阴影部分面积之和
23. 给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
（1）图象初探
（i）列表如下
请直接写出的值；
（ii）请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象.
（2）性质再探
请结合函数的图象，写出当__________，有最小值为__________；
（3）学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为平方米，深为米.已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米.
设水池底面一边长为米，水池总造价为千元，可得到与的函数关系式为：.根据以上信息，请回答以下问题：
（i）水池总造价的最低费用为__________千元：
（ii）若该农户预算不超过千元，请直接写出的值应控制在什么范围？
【答案】（1）（i），；（ii）描点、图象见解析
（2）时，有最小值
（3）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）（i）代入解析式即可求解；（ii）用平滑的曲线连接起来，即可得到简图；
（2）根据图象即可观察得到；
（3）（i）根据（2）中函数的最小值，即可求解；（ii）将问题转化为解方程即可得到结果.
【小问1详解】
（i）当时，；
当时，；即.
（ii）所描出的两点及所画函数图象如图所示：
【小问2详解】
观察图象知，图象的最低点坐标为，
即当时，有最小值.
【小问3详解】
（i），
当时，由（2）知，有最小值，
当时，有最小值.
（ii）解方程，整理得：，
解得：，
则当时，该农户预算不超过千元.20
26
28
31
35
20
14
12
9
5
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
男生成绩（秒）
146
141
139
143
140
142
142
139
143
女生成绩（秒）
150
154
155
149
150
149
148
153
154
151
男1
男2
女1
女2
男1
男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男2，男1
男2，女1
男2，女2
女1
女1，男1
女1，男2
女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1
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