河北省邯郸市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份河北省邯郸市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版），共20页。
注意事项：1.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2.考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若，则□，□中应该填入的符号是（ ）
A. ＞B. ＜C. ≥D. ≤
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可得．
【详解】解：，
（不等式的两边乘以同一个负数，不等号的方向改变），
故选：B．
2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ）
①；②；③
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】①右边不是乘积形式，不属于因式分解；
②左边不是多项式，不属于因式分解；
③从左边到右边的变形属于因式分解；
∴从左到右的变形是因式分解的有③，只有一个，
故选：B．
3. 一滴水的质量约为，100滴水的质量用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：；
故选A．
4. 用代入消元法解方程组时，代入正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查代入法解方程组，将代入，进行判断即可．
【详解】解：把代入，得：；
故选B．
5. 把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可．
【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形；
D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形；
故选：D．
6. 如图，过直线l外一点A作直线l的平行线，其直接依据是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等B. 内错角相等，两直线平行
C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，内错角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线判定与性质，根据图形，可以发现直线l和直线之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行，本题得以解决．
【详解】解：由图可知，直线l和直线之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行，
故选：B．
7. 如图，在中，，，为边上的高，平分交于点E，交于点F，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，进而根据得为直角三角形，由此可得的度数，即可根据求解．
【详解】在中，，，
，
平分，
，
，
∴为直角三角形，
．
∴
故选：A．
8. 如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形，表示出花园的长和宽，再计算即可．
【详解】由题意可得，花园的长为，宽为，
∴花园的面积为，
故选：D．
9. 下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式
乙同学：原式
A. 只有甲的结果正确B. 只有乙的结果正确
C. 甲、乙的结果都正确D. 甲、乙的结果都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解，进行判断即可．
【详解】解：；
；
故甲、乙的结果都正确；
故选C．
10. 手工课上，同学们用图中的彩色和白色正方形纸片拼成如图中的甲、乙两种图案．现有50个彩色正方形纸片和个白色正方形纸片，若拼成两种图案（两种图案都要拼）若干个，恰好将所有正方形纸片用完，设拼成了个甲图案，个乙图案，则所列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出题目中的等量关系，是解题的关键．设拼成了个甲图案，个乙图案，根据等量关系式：甲图案的白色纸片乙图案的白色纸片张，甲图案的彩色纸片乙图案的彩色纸片张，列出方程组即可．
【详解】解：设拼成了个甲图案，个乙图案，根据题意得：
，
故正确．
故选：．
11. 关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据其解都是不等式的解，得出关于a的不等式组，从而求解．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有解
∴，解得，不等式组的解集为，
∵不等式组的解都是不等式的解，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
12. 如图，在中，，，是边AB上的一个动点，连接CD，将沿着CD翻折，得到．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当CD为的平分线时，；
结论Ⅱ：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或
A. 只有Ⅰ正确B. 只有Ⅱ正确
C. Ⅰ、Ⅱ都不正确D. Ⅰ、Ⅱ都正确
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查翻折问题，平行线的性质，三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．根据折叠的性质及角平分线的定义判断结论Ⅰ，分二种情况：当时和，结合折叠的性质分别计算可判定结论Ⅱ求解．
【详解】解：∵CD为的平分线，
∴，
∵将沿着CD翻折，得到，
∴，
∴、、三点共线，
∵
∴故结论Ⅰ正确；
当时，如图，

由折叠可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，如图，

由折叠可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为
故结论Ⅱ错误；
故选：．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 把因式分解，结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，直接利用提公因式法分解因式即可．
【详解】，
故答案为：．
14. 如图，直线a，b，c交于一点，且，平移直线a到直线d的位置，若，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平移性质、平行线的性质，根据对顶角相等、垂直定义及平行线的性质、角的和差关系即可求解．
【详解】解：如图，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平移直线a到直线d的位置，
∴,
∴，
故答案为：．
15. 若关于的不等式的解集如图所示，则的值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查不等式，能从读取图像的信息，会解含有参数的不等式，用参数表示不等式的解由图像可以知道，，只需要根据写出的解集，即可求出的值
【详解】解：∵，
∴，
由图像可知，
∴，
解得，
故答案为：
16. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，设甲、乙两个正方形纸片边长分别为，由题意可得：，根据图1中的阴影部分的面积为，进行求解即可．
【详解】解：设甲、乙两个正方形纸片边长分别为，
由题意，得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图1中的阴影部分的面积为；
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 按要求完成下列各小题
（1）解方程组：
（2）解不等式组，并求其整数解．
【答案】（1）
（2），它的所有整数解为：，，，
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解；
（1）利用代入消元法解答即可；
（2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，再求它们的公共部分即可得出结论．
【小问1详解】
由可得，
把代入得，
解得，
∴，
∴原方程组的解为：；
【小问2详解】
解不等式得；
解不等式得；
∴不等式组的解集为：，
∴它的所有整数解为：，，，．
18. 按要求完成下列各小题
（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）利用乘法公式简便计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先算同底数幂的乘法，积的乘方，再算同底数幂的除法，最后合并同类项即可；
（2）展开后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）利用平方差公式进行运算即可．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式；
【小问3详解】
原式．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，方差公式，分解因式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19. 如图，已知，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若平分，交的延长线于点Q，且，对说明理由．
【答案】（1），理由见解析
（2）理由见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理和外角性质：
（1），得到，进而得到，即可得出结论；
（2）由三角形的外角性质求出的度数，由得到，由角平分线得到，由三角形的内角和定理得到，即可得出结论．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
20. 珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形．
（1）请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；
（2）请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积．
【答案】（1）长为：,宽为：
（2），91
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式、列代数式及代数式求值．
（1）结合图形进行分析即可求解；
（2）结合（1），利用长方形的面积公式即可求解；
【小问1详解】
由题意得：B型卡片长为：,宽为：；
【小问2详解】
所拼成的长方形的面积为：
当，时，
21. 观察：；．
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
验证：
（1）的结果是3的______倍；
（2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除；
延伸：
（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）3
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用；
（1）计算出92-62的结果，即可；
（2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可；
（3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可．
【详解】（1），
∴是3的15倍；
故答案为：；
（2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，
∴
∵为整数，
∴能被3整除；
（3）余数为3，理由如下：
设这个数为，比大3的数为，
所以被6整除余3，余数为3．
22. 如图1，图2，在中，为边上的高，E为线段上一点．
（1）若为中线，，，求的面积；
（2）若平分，．
①试判断与相等吗？并说明理由；
②如图2，F是线段上的动点（不与点A，E重合），过点F作交射线于点H，若，用含的代数式表示的度数．
【答案】（1）；
（2）①；②
【解析】
【分析】本题考查三角形的中线、高线、角平分线，三角形的外角与内角；
（1）根据中线可得，计算即可；
（2）①由角平分线可得，由外角可得，，结合即可得到；
②由垂直得到，，由角平分线可得，即可根据外角得到，再由求出的度数．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∵为的中线，
∴；
【小问2详解】
①，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，且，
∴；
②∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 某商场计划新建地上和地下两类充电桩以缓解电动汽车充电难的问题．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
（1）求新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
（2）若该商场计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地上充电桩的数量不超过20个，求共有几种建造方案？并列出所有方案．
【答案】（1）新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元
（2）一共有4种方案，分别为：方案①新建17个地上充电桩，43个地下充电桩；方案②新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案③新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案④新建20个地上充电桩，40个地下充电桩．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式是解题关键．
（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列二元一次方程组求解即可；
（2）设新建m个地上充电桩，根据“用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩”列一元一次不等式，求出的取值范围，即可得解．
【小问1详解】
解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，
依题意得，解得，
答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元；
【小问2详解】
解：设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
又∵，
∴整数m的值为17、18、19、20．
∴一共有4种方案，分别为：方案①新建17个地上充电桩，43个地下充电桩；方案②新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案③新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案④新建20个地上充电桩，40个地下充电桩．
24. 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为．则．
【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射出去．若被b反射出的光线n与光线m平行，且，求的度数；
【猜想验证】如图2，任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a，b的夹角的度数：
【拓展探究】如图3，有三块平面镜a，b，c，入射光线m与镜面a的夹角，镜面a，b组成的为120°，镜面b和c连接（连接点可以在b上任意一点，组成的也可以改变）．已知入射光线从镜面a开始反射，经过k（k为正整数，）次反射，第k次反射的反射光线n由镜面c反射，当时，请直接写出镜面b和c组成的（到之间）的度数．
【答案】（1）（2）（3）或
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角：
（1）根据平面镜反射光线的规律得，再利用平角的定义得，然后利用平行线的性质计算出即可；
（2）根据规律得到，，，得到，推出，即可得出结果；
（3）分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图2-1，
入射角与反射角相等，即，
∴，
∵，
；
（2）如图2-2，由题意，得：，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或．
理由如下：①当时，如图：
，
，
，
，
过点作，
，
∴，
，
，
，
∴；
即：；
②当时，如果边反射后与平行，则，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与平行，
如图4所示：
，
，
由，（2）的结论可得，
，
则．即：
综上所述：的度数为或．