高考物理一轮复习讲义第5章第1课时　万有引力定律及应用（2份打包，原卷版+教师版）

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目标要求 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点一 开普勒定律
开普勒三大定律
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
思考
1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。
(1)v1与v2大小什么关系？
(2)试推导eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)。
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2．把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。
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1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。( )
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。( )
3．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。( )
例1 (2023·广东清远市南阳中学检测)如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是( )
A．太阳位于焦点F1处
B．S1>S2
C．在M和N处，小行星的动能EkM>EkN
D．在N和P处，小行星的加速度aN>aP
例2 (2023·江苏无锡市期末)2021年2月，我国首次火星探测任务中探测器“天问一号”成功进入周期为T的大椭圆环火轨道。14天后，“天问一号”成功实施近火制动，经过极轨转移轨道(图中未画出)，进入近火点高度(离火星表面的高度)为h、远火点高度为H、周期为eq \f(1,5)T的火星停泊轨道。已知火星半径为R。则大椭圆环火轨道半长轴为( )
A.eq \r(3,\f(25,8))(H＋h) B.eq \r(3,\f(25,8))(H＋h＋2R)
C.eq \f(25,2) eq \r(5)(H＋h) D.eq \f(25,2) eq \r(5)(H＋h＋2R)
考点二 万有引力定律
1．万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________成正比、与它们之间________________成反比。即F＝Geq \f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是________间的距离。
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)地球上空的重力加速度大小g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2)。
1．地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。( )
2．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。( )
3．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( )
例3 (2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
例4 假定太阳系中一颗质量均匀、可看作球体的小行星其自转原来可以忽略。现若该行星自转加快，角速度为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为原来的eq \f(2,3)。已知引力常量为G，则该行星的密度ρ为( )
A.eq \f(9ω2,8πG) B.eq \f(ω2,3πG) C.eq \f(3ω2,2πG) D.eq \f(9ω2,4πG)
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg。
例5 (2024·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是( )
考点三 天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G)。
(2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
2．利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例6 航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
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(3)月球的密度ρ。
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例7 (2023·辽宁卷·7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( )
A．k3(eq \f(T1,T2))2 B．k3(eq \f(T2,T1))2
C.eq \f(1,k3)(eq \f(T1,T2))2 D.eq \f(1,k3)(eq \f(T2,T1))2
考情分析
试题情境
生活实践类
地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在________的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的____相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的____跟它的公转周期的____的比都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量