湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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数学试题
时量：120分钟 分值：150分
命题人：周福、彭婧涵 审题人：赵耀华
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求得集合和，根据交集的定义即可求解．
【详解】由题可知，，，
所以，
故选：A．
2. 已知复数满足，则复数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数.
【详解】因为，
所以．
故选：D．
3. 如图，中，为边的中点，为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量基本定理与混合运算，结合图形即可得解.
【详解】在中，为边的中点，为的中点，
则.
故选：A.
4. 下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可.
【详解】因为圆心在上，所以设圆心为,
因为圆的半径为2，
所以设圆的标准方程为,
因为该圆过原点，
所以，
解得,
所以圆心为或,
当圆心为时，圆的标准方程为，D对;
当圆心为时，圆的标准方程为.
故选：D.
5. 将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数的平移伸缩得出解析式即可.
【详解】的图象先向左平移可得,
纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得.
故选：C.
6. 已知函数，关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分段函数的解析式，作出的图象，将方程有4个不同的实数根，转化为方程必有一正一负两个根，即可得到，，再根据函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
要使关于的方程有4个不同的实数根，即有4个不同的实数根，
令，，，
则或或，
因为方程必有一正一负两个根，所以，
且，，所以，
所以，
函数在上单调递增，当时，，
所以，即
故选：B
7. 如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由余弦定理得出，再应用正弦定理求边长即可.
【详解】在中，由余弦定理，
得，所以，
因为，所以，
在中，，
由正弦定理，得，所以．
故选:D．
8. 在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定为等边三角形，利用正弦定理可确定外接圆半径，由此可知外接圆圆心即为四面体外接球球心，由球的性质可知平面，利用可求得点到平面的距离，由此可求得线面角的正弦值.
【详解】，，，，又为中点，
，则，即为等边三角形，
设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，取中点，连接，
，，，即外接圆半径为，
又四面体的外接球半径为，为四面体外接球的球心，
由球的性质可知：平面，又平面，，
，，；
设点到平面的距离为，
由得：，
又与均为边长为的等边三角形，，
直线与平面所成角的正弦值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，，则
C. 若，，且，则，是独立事件
D. 若，是独立事件，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用互斥事件、对立事件与相互独立事件的性质逐一判断即可
【详解】对于A，因为，是对立事件，所以事件，是不可能同时发生的，则，故A错误；
对于B，因为，是互斥事件，则，故B正确；
对于C，若，，则，，所以，所以，是独立事件，故C正确；
对于D，因为，是独立事件，所以，是独立事件，又，所以，所以，故D正确.
故选：BCD
10. 以下四个命题叙述正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距是1
B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D 直线，若，则或2
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.
【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；
对于B，由解得，即，则，解得，B正确；
对于C，依题意，，C正确；
对于D，当时，直线重合，D错误.
故选：BC
11. 已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 与所成角的余弦值为D. 动点P的轨迹长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则，
所以，
由平面，得，即，
化简可得：，
所以动点P在直线上，
对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；
对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；
对于选项C：，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 对任意的实数，直线所过的定点为__________．
【答案】
【解析】
【分析】将方程化为，列方程求解即可.
【详解】原方程可变形为，
令，解得，
于是有对，都满足方程，
所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为.
故答案为：.
13. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接，
当在点或点时，，
当当在弧中点时，，
所以的取值范围为，
由于，，，
所以，
因为，所以，故，
所以，即的取值范围为.
故答案为：.
14. 函数的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知为的一个周期，利用换元法求在内的值域，进而可得结果.
【详解】由题意可知：的定义域为R，
且
，
可知为的一个周期，
若，则，可知，
可得，
令，则，
且，可知，
可得，
可知在内单调递增，且，
则，即；
结合周期性可知：的值域为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是分析的周期性，这样可以缩小定义域，方便去绝对值求值域.
三、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，.
（1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
（2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可.
（2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可.
小问1详解】
设原点O到直线m的距离为，
则，解得或；
【小问2详解】
由解得，即m与n的交点为.
当直线l过原点时，此时直线斜率为，
所以直线l的方程为；
当直线l不过原点时，设l的方程为，
将代入得，
所以直线l的方程为.
故满足条件的直线l的方程为或.
16. 记的内角的对边分别为，满足.
（1）求角；
（2）若，，是中线，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值；
（2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可知：，
由，故，
∴
∴，
∴，又，
所以；
【小问2详解】
根据数量积的定义，由，得，
又，在中由余弦定理得：
∵，∴，
所以
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并求样本成绩的第80百分位数；
（2）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
【答案】（1），第80百分位数为86
（2），
【解析】
【分析】（1）借助频率分布直方图的性质计算可得，借助百分位数的性质计算即可得第80百分位数；
（2）借助分层抽样的平均数与方差计算公式计算即可得.
【小问1详解】
由每组小矩形的面积之和为1，
，解得：，
成绩落在内的频率为．
落在内的频率为．
故第80百分位数在，设第80百分位数为，
由，得，故第80百分位数为86；
【小问2详解】
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．
18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；
（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量PB的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【详解】（1）证明：
在正方形中，，因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，
所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以
因为，所以平面．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，设，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
［方法二］：定义法
如图2，因为平面，，所以平面．
在平面中，设．
在平面中，过P点作，交于F，连接．
因为平面平面，所以．
又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．
设，在中，易求．
由与相似，得，可得．
所以，当且仅当时等号成立．
［方法三］：等体积法
如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．
设，在三棱锥中，．
在三棱锥中，．
由得，
解得，
当且仅当时等号成立．
在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量PB的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．
19. 一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值.
【答案】（1）
（2）（i）小刚最适合业务员岗位；（ii）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为
【解析】
【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果；
（2）（i）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii）先根据条件得到的相关方程组，利用，，得到，再根据题设列出方程，利用，得出，再对三种情况分析讨论，即可求出结果.
【小问1详解】
将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据，
又，所以这组数据的第三四分位数为.
【小问2详解】
（i）由图表知，会计岗位的样本点为，则，
业务员岗位的样本点为，则，
后勤岗位的样本点为，则，
管理员岗位的样本点为，则，
所以，故小刚最适合业务员岗位.
（ii）四种职业的推荐率分别为，且，
所以，得到，
又均小于20，所以，且，
故可得到，
设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，，
依题有①，
②，
③，
④，
由①③得，
，
整理得：，
故有三组正整数解，
对于第一组解，代入④式有，不成立；
对于第二组解，代入①式有，
解得或，代入②④式均不成立；
对于第三组解，代入②式有，
解得，代入①②③④均成立，故；
故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为.
【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii）问的解决关键在于，根据题设定义列出的相关方程组，分析得，进而选择合适的式子得到，从而分析得解.
岗位
业务能力分值
管理能力分值
计算机能力分值
沟通能力分值
合计分值
会计（1）
2
1
5
4
12
业务员（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理员（4）
4
5
4
4
17