四川省遂宁中学高新校区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
①某食堂在中午半小时内进的人数； ②某元件的测量误差；
③小明在一天中浏览网页的时间； ④高一2班参加运动会的人数；
A ①②B. ③④C. ①③D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量；
故选：D.
2. 设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确，
又，，
所以选项B错误，选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确，
故选：B.
3. 某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 决定系数变小B. 残差平方和变小
C. 相关系数的值变小D. 解释变量与预报变量相关性变弱
【答案】B
【解析】
【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
4. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条.

A. 10B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】首先：从A到H最近路线需向前1步，向上3步，故有种方法，
其次：从H到B最近路线需向右2步，向前1步，故有种方法，
故共有条路线.
故选：B
5. 已知函数的导函数为，且对任意，，，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，得出函数单调递减，原不等式等价于，进而可得结果.
【详解】构造函数，则.
∵，∴函数在上单调递减，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：构造新的函数，将原不等式等价转化为.
6. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A. 0.0027B. 0.5C. 0.8414D. 0.9773
【答案】D
【解析】
【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解.
【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故，
显然，其中，，
故，
则，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D
7. 在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果.
【详解】由杨辉三角中观察得可得.
推广，得到
即
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为
故选:B
8. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设函数y=fx，y=gx的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知：，
设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，
且，，则公切线的斜率，可得，
则公切线方程为，
代入得，
代入可得，整理得，
令，则，
若总存在两条不同的直线与函数y=fx，y=gx图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，
令h′x>0，解得；令h′x0，为增函数；时，f′x0；当时，f′x