四川省自贡市旭川中学2023-2024学年高二下学期第一次月考适应性检测数学（A卷）试题（Word版附解析）

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1. 在等差数列中， ，则
A. 8B. 12C. 16D. 20
【答案】A
【解析】
【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，，则，所以.故选A.
2. 设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可.
【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.
故选：D
3. 已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ）
A. 398B. 388
C. 189D. 199
【答案】C
【解析】
【分析】数列是等差数列，，其中公差，由 是和的等比中项，可得，解得即可得出．
【详解】解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项，
，
化为，．
所以，
则．
故选：C．
4. 与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解.
【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为，
则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为，
由双曲线的定义可知，
所以，
所以所求双曲线的标准方程为.
故选：C.
5 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．
【详解】解：因为，则，又，则，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，所以，
则．
故选：D.
6. 设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用双曲线的定义和三角形的面积公式，列出方程组求得的值，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可知，
设，可得，
又因为，若的面积为，所以，且，
联立方程组，可得，所以双曲线的离心率为.
故选：D.
7. 已知，，则数列{an}的通项公式是（ ）
A. B. C. D. n
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
8. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（ ）
A. 782B. 822C. 780D. 820
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和累加法求通项可求解.
【详解】设该数列为,
由题可知,数列是以为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以,
所以所以
所以
故选:B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得2分，有选错的不得分）
9. 记为等差数列{an}的前项和.已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式
【详解】由题可知，，即，所以等差数列{an}的公差，
所以，.
故选：AC.
【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.
10. 数列满足，，数列的前项和为Sn，且，则下列正确的是（ ）
A. 是数列中的项
B. 数列是首项为，公比为的等比数列
C. 数列的前项和
D. 数列的前项和
【答案】BCD
【解析】
【分析】由等差数列的定义和通项公式求得，由数列的通项与前项和的关系，求得，结合数列的裂项相消求和、错位相减法求和，可得结论．
【详解】解：数列满足，，
可得，即有，即，
由，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
即为，即数列是首项为，公比为的等比数列，则，故B正确；
令，解得，不为整数，故A错误；
，则，故C正确；
，，，
两式相减可得，
化为，故D正确．
故选：BCD．
11. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，将点坐标代入函数中，可得 据此可得数列的通项公式，对于等比数列，设其公比为q，由题意可得 ,，即可得数列的通项公式，由等比数列前n项和公式计算可得的表达式，据此依次分析选项，即可得答案
【详解】根据题意，对于数列，点在函数的图象上，
则有 ，即①﹔
由①可得∶，②,
①-②可得：,③
时，,
验证可得∶时，符合③式,
则，
对于等比数列，设其公比为q，
等比数列满足，时，有④，
时，有⑤，
联立④⑤，解可得，则 ，
则有;
据此分析选项：
对于A、,则有，故A错误；
对于B、，，故，故B正确；
对于C、时，不成立，故C错误；
对于D、，，则有，D正确；
故选：BD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）
12. 若数列满足，则________，前8项的和________.
【答案】 ①. 8 ②. 255
【解析】
【分析】由已知条件可得数列是以2为公比，1为首项的等比数列，然后利用等比数列的通项公式和前项和公式分别求出和.
【详解】因为数列满足，
所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，.
故答案为：8，255
13. 已知等比数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则__________．
【答案】63
【解析】
【详解】试题分析：因为是方程的两个根，且等比数列是递增数列，所以，即，则；故填63．
考点：1．一元二次方程的根与系数的关系；2．等比数列．
14. 《孙子算经》中提到“物不知数”问题.如：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为________.
【答案】19
【解析】
【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式，即可得到，再由基本不等式即可得到结果.
【详解】由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列满足且.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，构造出，再求出，可得结论；
（2）由（1）和等比数列的通项公式可得解.
详解】（1）证明：，
又，
是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）知
【点睛】本题考查根据递推公式证明数列是等比数列和等比数列的通项公式，关键在于构造出所需的表达式，属于中档题.
16. 已知等差数列an的前项和为，，．
（1）求an的通项公式；
（2）设，求数列bn的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，求出首项和公差，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，则由，，
得，解得，
故；
【小问2详解】
由（1）得，
故
.
17. 2015年推出一种新型家用轿车，购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元.
（I）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费）为f(n)，求f(n)的表达式；
（II）这种汽车使用多少报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？
【答案】(1) （万元）.
(2) 13年报废最合算.
【解析】
【详解】分析：（1）先根据等差数列求和公式得维修总费用，再加上购买费用、保险费、养路费、汽油费得f(n)的表达式；（2）先列年平均费用，再根据基本不等式求最值,最后根据等号取法得结果.
详解：（I）由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为
（万元）
所以 （万元）
（II）该辆轿车使用n年的年平均费用为

=3.7（万元）
当且仅当 时取等号，此时n=13
答：这种汽车使用13年报废最合算.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
18. 已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足．
（1）试求，的值；
（2）求数列的通项公式：
（3）若数列为递增数列，求实数k的取值范围．
【答案】（1），
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得，进一步得到答案.
（2）由（1）的分析可得答案.
（3）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得.
【小问1详解】
由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得，
于是，即，两边取对数得，
即，整理得，
因此数列是常数列，即，于是，所以.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知数列的通项公式为.
【小问3详解】
由（1）知，，
由数列为递增数列，得，
即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号，
所以实数k的取值范围是.
19. 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）若，令，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式；
（2）利用等差数列的前n项和公式，结合第（1）问，即可求得；
（3）利用错位相减，化简解可得出答案.
【小问1详解】
设公差为d，中，令得，
又，则，解得，
故；
【小问2详解】
；
小问3详解】
，
则①，
故②，
故①－②得
，
故．