重庆市渝西中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 总分：150分
命题人：徐小玲 审题人：张进
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的展开式中的系数是（ ）
A. 40B. 80C. 10D. 60
2. 用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（ ）
A. 120个B. 72个C. 60个D. 48个
3. 若函数在点处的切线与平行，则（ ）
A. 2B. 0C. D. -2
4. 数列前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知在处的极大值为5，则（ ）
A B. 6
C. 或6D. 或2
6. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 0
7. 在一个抽奖游戏中共有5扇关闭的门，其中2扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门获奖的概率分别为（ ）
A. B. C. D.
8. 若不等式对恒成立，则整数的最大值为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 二项式系数和为64
B. 所有项的系数之和为2
C. 第三项的二项式系数最大
D. 系数最大值为240
10. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．
A. 若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种；
B. 若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同排法共有42种；
C. 若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种；
D. 若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种；
11. 已知，则下列关系式可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分（13题第一问2分，第二问3分），共15分．
12. 若随机变量，且，则的值是________．
13. 已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.
（1）一个该品牌电子元件使用寿命超过天的概率为_______________________；
（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．
（参考公式：若，则）
14. 已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数的取值范围是___________
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前n项和．
16. 有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表：
若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）
（1）求该学生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生被该校录取的概率.
17. 已知椭圆，经过点，且离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线于点N，直线m与x轴交于点M，记，的面积分别为，求的最大值．
18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．

（1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的均值及抽取概率最大时的一级口罩个数；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差；
（3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加，两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值．
19. 已知函数，其中a∈R．
（1）令，讨论的单调性；
（2）若函数在上单调递增，求a的取值范围；
（3）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围．
市数学竞赛一等奖
自主招生通过
高考达重点线
高考达该校分数线
0.5
0.6
0.9
0.7