



2024-2025学年高三高考第一次模拟数学试题
展开说明:解答只列出试题的一种解法.如果考生的解法与所列解法不同,可参考评分量表的相应评分.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全得部分分,有选错的得0分.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 2-3 32 13. 5-2 2 14. 3-14, 22
四.解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
15.(13分)
解:(1)在锐角△ABC中,sin(A-B)=csC>0,则0
=2-cs2A-cs(3π2-2A)=2+sin2A-cs2A=2+ 2sin(2A-π4),
而π4<2A-π4<3π4,则 22
16:(15分)
(1)
连接BD、B1D1,由E,F分别为AD,AB的中点,则EF//BD,
又EF⊄平面BB1D1D,BD⊂平面BB1D1D,故EF//平面BB1D1D,
正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1//AB且A1B1=12AB=BF,
则四边形A1FBB1为平行四边形,故A1F//BB1,
又A1F⊄平面BB1D1D,BB1⊂平面BB1D1D,故A1F//平面BB1D1D,
又A1F∩EF=F,且A1F⊂平面A1EF,EF⊂平面A1EF,
故平面A1EF//平面BB1D1D,又BD1⊂平面BB1D1D,故BD1//平面A1EF;
(2)
正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上下底面中心的连线OO1⊥底面ABCD,
底面ABCD为正方形,故AO⊥BO,
故可以O为原点,OA、OB、OO1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
由AB=2A1B1=4,侧面BB1C1C与底面ABCD所成角为45∘,
则OO1=A1B1-AB2×tan45∘=1,
则A1 2,0,1,F 2, 2,0,E 2,- 2,0,
假设在线段AB上存在点Mx,y,0满足题设,则AM=x- 2,y,0,
设AM=λAB0≤λ≤1,则M=2 2-2 2λ,2 2λ,0,
D1M=2 2-2 2λ,2 2λ+ 2,-1,
设平面A1EF的法向量为m=(x,y,z),
则n2⋅A1E= 2y-z=0n2⋅EF=2 2y=0,令x=1,则y=0,z=0,即m=1,0,0,
因为直线D1M与平面A1EF所成的角的正弦值为3 510,
故csD1M,m=D1M⋅mD1Mm=2 2-2 2λ 16λ2-8λ+11× 1=3 510,
解得λ=14或λ=614(舍),故AM=14AB=1,
故线段AB上存在点M,使得直线D1M与平面A1EF所成的角的正弦值为3 510,
此时线段AM的长为1.
17.(15分)
(1)
若A恰好获得四元红包,则结果为A未猜中,B未猜中,C猜中,
故A恰好获得4元的概率为23×12×13=19;
(2)
X的可能取值为0,4,6,12,
则PX=4=19,PX=0=23×12×23=29,
PX=6=23×12=13,PX=12=13,
所以X的分布列为:
数学期望为EX=0×29+4×19+6×13+12×13=589.
18.(17分)
(1)
令x1=2,x2=1,因为fx=x2,则fx1-fx2=3,x1-x2=1,不满足对任意的x1,x2∈Rx1≠x2,fx1-fx2
命题为真命题.
因为f'x=limΔx→fx+Δx-fxΔx,
不妨令x1=x+Δx,x2=x,
因为y=fx是“平缓函数”,
则fx+Δx-fx<Δx⇒fx+Δx-fxΔx<1,
所以f'x=limΔx→0fx+Δx-fxΔx≤1,
故命题为真命题.
(3)
因为y=fx是以1为周期的周期函数,不妨设x1,x2∈0,1,
当x1-x2≤12时,因为函数y=fx是“平缓函数”,
则fx1-fx2
因为y=fx是以1为周期的周期函数,
则f0=f1,
因为函数y=fx是“平缓函数”,
所以fx1-fx2=fx1-f0+f1-fx2≤fx1-f0+f1-fx2
因为y=fx是以1为周期的周期函数,
所以对任意的x1,x2∈Rx1≠x2,均有fx1-fx2<12.
19.(17分)
(1)曲线C上点Pn(xn,yn)处的切线ln的斜率为kn=y'x=xn=3xn2,
故得到的方程为y-yn=3xn2⋅(x-xn),
联立方程y=x3y-yn=3xn2⋅(x-xn)yn=xn3,消去y得x3-3xn2⋅x+2xn3=0,
化简得(x-xn)2⋅(x+2xn)=0,所以x=xn或x=-2xn,
由x=xn得到点Pn的坐标(xn,yn),
由x=-2xn就得到点Pn+1的坐标(-2xn,(-2xn)3),
所以xn+1=-2xn,
故数列{xn}为首项为1,公比为-2的等比数列,
所以xn=(-2)n-1,yn=(-8)n-1;
(2)证明:(I)由(1)知:Pn+1((-2)n,(-8)n),Pn+2((-2)n+1,(-8)n+1),
所以直线ln的方程为y-(-8)n=(-8)n-(-8)n+1(-2)n-(-2)n+1(x-(-2)n),
化简得3⋅4nx-y-2⋅(-8)n=0,dn=|3⋅4n⋅(-2)n-1-(-8)n-1-2⋅(-8)n| (3⋅4n)2+(-1)2=27⋅8n-1 9⋅4n+1<27⋅8n-13⋅22n=9⋅2n-3,
所以1dn>19⋅(12)n-3,
所以1d1+1d2+⋯+1dn>19×4[1-(12)n]1-12=89(1-12n)≥89(1-12)=49;
(II)1d1+1d2+⋯+1dn>19[(12)-2+(12)-1+⋯+(12)n-3]
=19⋅(12)-2[1-(12)n]1-12=89(1-12n),
与(I)中相同,当n=1时,此时最小值为49.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
D
C
A
C
C
题号
9
10
11
答案
AC
AD
ABD
X
0
4
6
12
P
29
19
13
13
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