2024-2025学年高三高考第一次模拟数学试题

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说明：解答只列出试题的一种解法.如果考生的解法与所列解法不同，可参考评分量表的相应评分.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 2-3 32 13. 5-2 2 14. 3-14, 22
四.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．
15.（13分）
解：(1)在锐角△ABC中，sin(A-B)=csC>0，则0(2)由(1)知，C=3π4-A，由0由正弦定理得a2+c2b2=sin2A+sin2Csin2B=2sin2A+2sin2C=1-cs2A+1-cs2C
=2-cs2A-cs(3π2-2A)=2+sin2A-cs2A=2+ 2sin(2A-π4)，
而π4<2A-π4<3π4，则 22所以a2+c2b2的取值范围是(3,2+ 2].
16：（15分）
(1)
连接BD、B1D1，由E,F分别为AD,AB的中点，则EF//BD，
又EF⊄平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，故EF//平面BB1D1D，
正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1//AB且A1B1=12AB=BF，
则四边形A1FBB1为平行四边形，故A1F//BB1，
又A1F⊄平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，故A1F//平面BB1D1D，
又A1F∩EF=F，且A1F⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，
故平面A1EF//平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D，故BD1//平面A1EF；
(2)
正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上下底面中心的连线OO1⊥底面ABCD，
底面ABCD为正方形，故AO⊥BO，
故可以O为原点，OA、OB、OO1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
由AB=2A1B1=4，侧面BB1C1C与底面ABCD所成角为45∘，
则OO1=A1B1-AB2×tan45∘=1，
则A1 2,0,1，F 2, 2,0，E 2,- 2,0，
假设在线段AB上存在点Mx,y,0满足题设，则AM=x- 2,y,0，
设AM=λAB0≤λ≤1，则M=2 2-2 2λ,2 2λ,0，
D1M=2 2-2 2λ,2 2λ+ 2,-1，
设平面A1EF的法向量为m=(x,y,z)，
则n2⋅A1E= 2y-z=0n2⋅EF=2 2y=0，令x=1，则y=0，z=0，即m=1,0,0，
因为直线D1M与平面A1EF所成的角的正弦值为3 510，
故csD1M,m=D1M⋅mD1Mm=2 2-2 2λ 16λ2-8λ+11× 1=3 510，
解得λ=14或λ=614(舍)，故AM=14AB=1，
故线段AB上存在点M，使得直线D1M与平面A1EF所成的角的正弦值为3 510，
此时线段AM的长为1.

17．（15分）
(1)
若A恰好获得四元红包，则结果为A未猜中，B未猜中，C猜中，
故A恰好获得4元的概率为23×12×13=19；
(2)
X的可能取值为0，4，6，12，
则PX=4=19，PX=0=23×12×23=29，
PX=6=23×12=13，PX=12=13，
所以X的分布列为：
数学期望为EX=0×29+4×19+6×13+12×13=589.
18.（17分）
(1)
令x1=2,x2=1，因为fx=x2，则fx1-fx2=3，x1-x2=1，不满足对任意的x1,x2∈Rx1≠x2，fx1-fx2(2)
命题为真命题.
因为f'x=limΔx→fx+Δx-fxΔx，
不妨令x1=x+Δx,x2=x，
因为y=fx是“平缓函数”，
则fx+Δx-fx<Δx⇒fx+Δx-fxΔx<1，
所以f'x=limΔx→0fx+Δx-fxΔx≤1，
故命题为真命题.
(3)
因为y=fx是以1为周期的周期函数，不妨设x1,x2∈0,1，
当x1-x2≤12时，因为函数y=fx是“平缓函数”，
则fx1-fx2当x1-x2>12时，不妨设0≤x112，
因为y=fx是以1为周期的周期函数，
则f0=f1，
因为函数y=fx是“平缓函数”，
所以fx1-fx2=fx1-f0+f1-fx2≤fx1-f0+f1-fx2
所以对任意的x1,x2∈0,1，均有fx1-fx2<12，
因为y=fx是以1为周期的周期函数，
所以对任意的x1,x2∈Rx1≠x2，均有fx1-fx2<12.
19.（17分）
(1)曲线C上点Pn(xn,yn)处的切线ln的斜率为kn=y'x=xn=3xn2，
故得到的方程为y-yn=3xn2⋅(x-xn)，
联立方程y=x3y-yn=3xn2⋅(x-xn)yn=xn3，消去y得x3-3xn2⋅x+2xn3=0，
化简得(x-xn)2⋅(x+2xn)=0，所以x=xn或x=-2xn，
由x=xn得到点Pn的坐标(xn,yn)，
由x=-2xn就得到点Pn+1的坐标(-2xn,(-2xn)3)，
所以xn+1=-2xn，
故数列{xn}为首项为1，公比为-2的等比数列，
所以xn=(-2)n-1，yn=(-8)n-1；
(2)证明：(I)由(1)知：Pn+1((-2)n,(-8)n)，Pn+2((-2)n+1,(-8)n+1)，
所以直线ln的方程为y-(-8)n=(-8)n-(-8)n+1(-2)n-(-2)n+1(x-(-2)n)，
化简得3⋅4nx-y-2⋅(-8)n=0，dn=|3⋅4n⋅(-2)n-1-(-8)n-1-2⋅(-8)n| (3⋅4n)2+(-1)2=27⋅8n-1 9⋅4n+1<27⋅8n-13⋅22n=9⋅2n-3，
所以1dn>19⋅(12)n-3，
所以1d1+1d2+⋯+1dn>19×4[1-(12)n]1-12=89(1-12n)≥89(1-12)=49；
(II)1d1+1d2+⋯+1dn>19[(12)-2+(12)-1+⋯+(12)n-3]
=19⋅(12)-2[1-(12)n]1-12=89(1-12n)，
与(I)中相同，当n=1时，此时最小值为49.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
D
C
A
C
C
题号
9
10
11
答案
AC
AD
ABD
X
0
4
6
12
P
29
19
13
13