沪科版数学七年级上册第3章 一次方程与方程组 试卷（含答案）

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第3章综合素质评价一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列方程中，是一元一次方程的是( )A．3x－6＝0 B．2x－y＝z C．x－2y＝1 D．x2＋y＝12．已知x＝y，下列等式变形不一定成立的是( )A．1－x＝1－y B.eq \f(x,b)＝eq \f(y,b)C．πx＝πy D.eq \f(x,m2＋1)＝eq \f(y,m2＋1)3．方程eq \f(3x－1,2)－eq \f(2x＋1,3)＝1去分母正确的是( )A．2(3x－1)－3(2x＋1)＝6 B．3(3x－1)－2(2x＋1)＝1C．9x－3－4x＋2＝6 D．3(3x－1)－2(2x＋1)＝64．已知有理数x，y满足方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝3，,2y－x＝－4，))则2x＋y的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．25．由x－eq \f(y,2)＝1可以得到用x表示y的式子为( )A．y＝2x－1 B．y＝2x－2 C．y＝eq \f(1,2)x＋1 D．y＝2x＋26．小哲与他的爸爸一起做“投篮球”游戏，两人商定游戏规则为：小哲投中1个得2分，小哲爸爸投中1个得1分，两人共投中了 25个．经计算，发现小哲比爸爸多得2分，则小哲投中了( )A．7个 B．8个　　 C．9个　　 D．10个7.《九章算术》是中国古代的一本重要的数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为( )A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋6y＝16，,5x＋y＝6y＋x)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋6y＝16，,4x＋y＝5y＋x))C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋5y＝16，,6x＋y＝5y＋x)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋5y＝16，,5x＋y＝4y＋x))8．【2024·黄山期末】已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7a－5，,2y－x＝5))的解x，y互为相反数，则a的值为( )A．0 B．1 C．－1 D．29．【2024·合肥蜀山区校级期中】某公司出售A，B两种商品，A商品降价20%，B商品提价25%，都售得a万元，在这两笔交易中，该公司总盈亏情况是( )A．亏损 B．盈利 C．不盈不亏 D．无法确定盈亏10．已知关于x的一元一次方程eq \f(2 022x＋a,2 023)＋2 023＝x＋b的解是x＝ 2 023，则关于y的一元一次方程y－2 024＝eq \f(2 022y＋a－2 022,2 023)－b的解为y＝( )A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．若方程(m＋1)x＋3y|m|＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为________．12．【2024·哈尔滨南岗区校级期中】一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h．已知水流速度是3 km/h，则船在静水中的平均速度是 ________km/h.13.按下面的程序计算：若输入的x为正整数，输出结果是133，则满足条件的x的值是 ________．14.如图是2024年7月的日历，任意选取“H”型框中的7个数(如阴影部分所示)，请你运用所学的数学知识来研究，“H”型框中的7个数的和可能是________．(填写序号)①63；②70；③92；④105. 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．【2024·合肥蜀山区校级期中】解方程组：(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(y＋2,3)＝－1，,3x＋2y＝14；))　　　　　　　(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝10，,2x＋3y＋z＝17，,3x＋2y－z＝8.))16．【2024·六安金安区校级期中】已知关于x的方程3x－(2a－1)＝5x－a＋1与eq \f(x＋12,2)＋eq \f(x－4,3)＝8的解相同，求a的值．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.清代诗人徐子云曾写过一首诗：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，看看用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧．意思是：山林中有一座古寺，不知道寺内有多少僧人．已知一共有364只碗，刚好能够用完．每三个僧人一起吃一碗饭，每四个僧人一起吃一碗羹．请问寺内一共有多少僧人？请解答上述问题．18．【2024·包河大地中学月考】若关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y＝5，,ax＋by＝－1))与eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝9，,3ax－4by＝18))有公共的解．(1)求x，y的值；(2)求a2＋b2－2ab的值．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有中、小型汽车共 30辆，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？20.若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，即＝10m＋n.(1)若＝－1，求x的值；(2)若＝45，求的值．六、(本题满分12分)21. A，B两地相距480千米．一辆快车从A地出发，每小时行驶 80千米，一辆慢车从B地出发，每小时行驶60千米．(1)两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇；(2)两车同时出发，相背而行，经过多长时间两车相距620千米．(3)若快车从A地比慢车早出发5小时去追赶慢车，两车同向而行，慢车出发多长时间后能被快车追上？七、(本题满分12分)22．为提高课后延时服务质量，某校根据实际决定开设更多运动项目，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．(1)七(1)班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计，需要购买足球的有15名同学，需要购买跳绳的有12名同学．请你根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；(2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进a个足球和b根跳绳(其中a>22，b>0)，恰好用了2 400元，其中每个足球的进价为80元，每根跳绳的进价为15元，则最多可以购进多少根跳绳？八、(本题满分14分)23.已知(a＋2)x2＋3x－18＝0是关于x的一元一次方程，且方程的解是x＝b，若数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b.(1)a＝________，b＝________，A，B两点之间的距离为________．(2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在此位置第二次运动，向右运动2个单位长度，又在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照此规律不断地左右运动，当运动到2 024次时，求点P所对应的有理数．(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使它到点B的距离是到点A的距离的3倍？若存在，请直接写出点P的位置所对应的数；若不存在，请说明理由．答案一、1．A　2．B　3．D　4．A　5．B　6．C　7．B8．A【点方法】在求解二元一次方程组问题中，观察未知数前的系数，能否直接将两方程相加或相减得到所求的代数式．9．A10．C　【点拨】因为关于x的一元一次方程eq \f(2 022x＋a,2 023)＋2 023＝x＋b的解是x＝2 023，即x－2 023＝eq \f(2 022x＋a,2 023)－b的解是x＝2 023.所以b＝2 022＋eq \f(a,2 023).所以y－2 024＝eq \f(2 022y＋a－2 022,2 023)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2 022＋\f(a,2 023))).所以y－2＝eq \f(2 022y－2 022,2 023)，即2 023y－4 046＝2 022y－2 022，解得y＝2 024.二、11． 1【点易错】容易忽视未知数x前面的系数m＋1≠0，即m≠－1.12．27　【点拨】设船在静水中的平均速度是x km/h，根据题意，得2(x＋3)＝2.5(x－3)，解得x＝27.所以船在静水中的平均速度是27 km/h.13．46或17 　【点拨】由题意得，若只经过一次计算，则3x－5＝133，解得x＝46；若经过两次计算，则令3x－5＝46，得x＝17；若经过三次计算，则令3x－5＝17，得x＝eq \f(22,3)(不合题意，舍去)．综上，满足条件的x的值是46或17.14．①②④　【点拨】设中间的数为x，则另外的6个数分别是x－8，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋8，则7个数的和是x－8＋x－6＋x－1＋x＋x＋1＋x＋6＋x＋8＝7x.当和是63时，7x＝63，解得x＝9.由题图可知，这7个数为1，3，8，9，10，15，17.当和是70时，7x＝70，解得x＝10.由题图可知，这7个数为2，4，9，10，11，16，18.当和是92时，7x＝92，解得x＝eq \f(92,7)(不符合题意，舍去)．当和是105时，7x＝105，解得x＝15.由题图可知，这7个数为7，9，14，15，16，21，23.故7个数的和可能是63，70，105.三、15．【解】(1)整理方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝－2，①,3x＋2y＝14.②))①＋②，得6x＝12，解得x＝2.把x＝2代入②，得6＋2y＝14，解得y＝4.所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4.))(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝10，①,2x＋3y＋z＝17，②,3x＋2y－z＝8.③))②－①，得x＋2y＝7，④②＋③，得5x＋5y＝25，即x＋y＝5，⑤④－⑤，得y＝2.把y＝2代入⑤，得x＝3.把x＝3，y＝2代入①，得z＝5.所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝5.))16．【解】解第一个方程，得x＝－eq \f(a,2)，解第二个方程，得x＝4.所以－eq \f(a,2)＝4，解得a＝－8.四、17．【解】设寺内有x个僧人，由题意得eq \f(x,3)＋eq \f(x,4)＝364，解得x＝624.答：寺内一共有624个僧人．18．【解】(1)因为关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y＝5，,ax＋by＝－1))与eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝9，,3ax－4by＝18))有公共的解，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y＝5，,3x＋y＝9))的解即为两个方程组的公共解，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))(2)因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6a－12b＝18，,2a＋3b＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))所以a2＋b2－2ab＝1＋1－2×1×(－1)＝4.五、19．【解】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30，,15x＋8y＝324，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝18.))答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．20．【解】(1)因为＝10m＋n，＝－1，所以(10×2＋x)－(10x＋3)＝－1.所以x＝2.(2)因为＝10m＋n，＝45，所以10x＋2＋10y＋3＝45.所以10x＋10y＝40.所以x＋y＝4.所以x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1.所以＝13或22或31.六、21．【解】(1)设经过x小时后两车相遇，由题意得60x＋80x＝480，解得x＝eq \f(24,7).答：经过eq \f(24,7)小时后两车相遇．(2)设经过y小时后两车相距620千米，由题意可得60y＋80y＋480＝620，解得y＝1.答：经过1小时后两车相距620千米．(3)设慢车出发t小时后被快车追上，由题意得80t＋80×5＝60t＋480，解得t＝4.答：慢车出发4小时后被快车追上．七、22．【解】(1)设足球的单价为x元，跳绳的单价为y元，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15x＋12y＝1 740，,12x＋15y＝1 500，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100，,y＝20.))答：足球的单价为100元，跳绳的单价为 20元．(2)由题意得80a＋15b＝2 400，整理得b＝160－eq \f(16,3)a, 所以a越小，b越大．因为a，b均为正整数，a>22，所以当a＝24时，b取最大值，最大值为160－eq \f(16,3)×24＝32, 所以最多可以购进32根跳绳．八、23．【解】(1)－2；6；8　【点拨】因为(a＋2)x2＋3x－18＝0是关于x的一元一次方程，所以a＋2＝0，3x－18＝0，解得a＝－2，x＝6.因为方程的解是x＝b，所以b＝6.所以A，B两点之间的距离＝6－(－2)＝8.(2)由题意可得－2－1＋2－3＋4－5＋6－7＋…＋2 022－2 023＋2 024＝－2＋(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 021＋2 022)＋(－2 023＋2 024)＝－2＋1 012＝1 010，所以点P所对应的有理数为1 010.(3)设点P的位置所对应的数为x，则AP＝|x＋2|，BP＝|x－6|.当3AP＝PB时，3|x＋2|＝|x－6|，解得x＝0或－6.所以点P的位置所对应的数为－6或0.日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031