2024-2025学年福建省平潭县数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份2024-2025学年福建省平潭县数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）=（ ）
A．4B．2C．﹣2D．±2
2、（4分）如图所示是一些常用图形的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
3、（4分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40% 、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩.某选手的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩依次为85,95,95，则该选手的综合成绩为 （ ）
A．92B．88C．90D．95
4、（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）
A．9环与8环B．8环与9环C．8环与8.5环D．8.5环与9环
5、（4分）下列算式中，正确的是
A．B．
C．D．
6、（4分）关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7、（4分）如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,点E是BC边的中点,OE=1,则AB的长为（ ）
A．2B．1
C．D．4
8、（4分）若分式有意义，则满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若，则a2﹣6a﹣2的值为_____．
10、（4分）正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB=______________．
11、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，CF＝8cm，则线段DE＝________cm．
​
12、（4分）已知A（﹣2，2），B（2，3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为_____
13、（4分）数据2，4，3，x，7，8，10的众数为3，则中位数是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油．在此次行驶过程中，行驶了450千米时，司机发现离前方最近的加油站有75千米的路程．在开往该加油站的途中，当汽车开始提示加油时，离加油站的路程是多少千米？
15、（8分）如图，四边形是面积为的平行四边形，其中.
（1）如图①，点为边上任意一点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是__________；
（2）如图②，设交于点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是___________；
（3）如图③，点为内任意一点时，试猜想的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系，并加以证明；
（4）如图④，已知点为内任意一点，的面积为，的面积为，连接，求的面积.
16、（8分）已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是甲乙两车离A地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车离A地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若它们出发第5小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离A地的距离y乙（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
17、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM=2AE=4，∠BCE=30°.
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求证：∠EMC=2∠AEM .
18、（10分）已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝－3时，y＝4.
(1)求y与x的函数关系式，并说明此函数是什么函数；
(2)当x＝3时，求y的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（m，3），AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数解析式是___．
20、（4分）如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是12cm2，则AC的长是_____cm．
21、（4分）如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于________．
22、（4分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则菱形的面积为____．
23、（4分）已知一次函数y＝mx+n与x轴的交点为（﹣3，0），则方程mx+n＝0的解是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在中，点是对角线的中点，点在上，且，连接并延长交于点F．过点作的垂线，垂足为，交于点．
（1）求证：；
（2）若．
①求证：；
②探索与的数量关系，并说明理由．
25、（10分）已知关于x、y的方程组的解都小于1，若关于a的不等式组恰好有三个整数解；
⑴ 分别求出m与n的取值范围；
⑵请化简：。
26、（12分）如图，平面直角坐标系中，已知点，若对于平面内一点C，当是以AB为腰的等腰三角形时，称点C时线段AB的“等长点”．
请判断点，点是否是线段AB的“等长点”，并说明理由；
若点是线段AB的“等长点”，且，求m和n的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据算术平方根，即可解答．
【详解】
＝＝2，
故选B．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
2、B
【解析】
A、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
3、C
【解析】
分析：根据加权平均数公式计算即可，若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数，此题w1+w2+w3+…+wn=50%+40% +10%=1.
详解：由题意得，
85×50％+95×40％+95×10％=90（分）.
点睛：本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解答本题的关键.
4、C
【解析】
根据众数的定义找出出现次数最多的数；根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数即可．
【详解】
根据统计图可得：8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；
∵共有8个数，∴中位数是第4和1个数的平均数，∴中位数是（8+9）÷2=8.1．
故选C．
本题考查了众数和中位数，用到的知识点是众数和中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．
5、C
【解析】
根据二次根式的混合运算法则逐一计算即可判断．
【详解】
解：A.，此选项错误；
B. ，此选项错误；
C.，此选项正确；
D.，此选项错误；
故选：C．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
6、D
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【详解】
解：去分母得：x+1=a，
由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，
代入整式方程得：a=5，
故选：D．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7、A
【解析】
首先证明OE是△BCD的中位线，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵BE=EC，
∴OE= CD，
∵OE=1，
∴AB=CD=2，
故答案为:A
此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，解题关键在于求出OE是△BCD的中位线
8、B
【解析】
根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠-1
故选B．
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-1
【解析】
把a的值直接代入计算，再按二次根式的运算顺序和法则计算．
【详解】
解：当 时，
a2﹣6a﹣2＝（3﹣）2﹣6（3﹣）﹣2
＝19﹣6﹣18+6﹣2
＝﹣1．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的运算法则.
10、1
【解析】
试题解析：如图，
tan∠AOB==1，
故答案为1．
11、8
【解析】
分析：
由已知条件易得CF是Rt△ABC斜边上的中线，DE是Rt△ABC的中位线，由此可得AB=2CF=2DE，从而可得DE=CF=8cm.
详解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，
∴AB=2CF，AB=2DE，
∴DE=CF=8（cm）.
故答案为：8.
点睛：熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键.
12、（-0.4，0）
【解析】
点A（-2，2）关于x轴对称的点A'（-2，-2），求得直线A'B的解析式，令y=0可求点P的横坐标．
【详解】
解：点A（-2，2）关于x轴对称的点A'（-2，-2），
设直线A'B的解析式为y=kx+b，
把A'（-2，-2），B（2，3）代入，可得
，解得 ，
∴直线A'B的解析式为y=x+，
令y=0，则0=x+，
解得x=-0.4，
∴点P的坐标为（-0.4，0），
故答案为：（-0.4，0）．
本题综合考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间线段最短等知识点．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13、1
【解析】
先根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得x，再由中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】
解：∵这组数据2，1，3，x，7，8，10的众数为3，
∴x＝3，
从小到大排列此数据为：2，3，3，1，7，7，10，
处于中间位置的数是1，
∴这组数据的中位数是1；
故答案为：1．
本题主要考查数据统计中的众数和中位数的计算，关键在于根据题意求出未知数.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）该一次函数解析式为y=x+1；（2）离加油站的路程是10千米．
【解析】
（1）分析题意，首先根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，用总路程减去剩余油量为8升时行驶的路程即可解答本题。
【详解】
（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，
将（150，45）、（0，1）代入y=kx+b中，得，
解得：，
∴该一次函数解析式为y=x+1．
（2）当y=x+1=8时，
解得x=2．
即行驶2千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530-2=10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
本题主要考查的是一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法.
15、（1）； （2）； （3）结论：；理由见解析；（4）6
【解析】
（1）根据平行四边形的性质可知：，即可解决问题；
（2）理由平行四边形的性质可知：，即可解决问题；
（3）结论：．如图③中，作于，延长交于．根据；
（4）设的面积为，的面积为，则，推出，可得的面积；
【详解】
解：（1）如图①中，，．
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为．
（2）如图②中，四边形是平行四边形，
，，
，
．
故答案为．
（3）结论：．
理由：如图③中，作于，延长交于．
，，
，
．
（4）设的面积为，的面积为，
则，
，
的面积，
本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等高模型等正整数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16、（1） ；（2）140千米，y乙=300﹣28x ，（0≤x≤）；（3）或小时
【解析】
(1)由图知,该函数关系在不同的时间里表现出不同的关系,需分段表达，可根据待定系数法列方程,求函数关系式.（2）根据题意求出乙车速度，列出y乙与行驶时间x的函数关系式；（3）联立方程分段求出相遇时间．
【详解】
（1）由图象可知，甲车由A到B的速度为300÷3=100千米/时，由B到A的速度为千米/时，
则当0≤x≤3时：y甲=100x，
当3≤x≤时：y甲=300﹣80（x﹣3）=﹣80x+540，
∴y甲=，
（2）当x=5时，y甲=﹣80×5+540=140（千米），
则第5小时时，甲距离A140千米，则乙距离B140千米，则乙的速度为140÷5=28千米/时，
则y乙=300﹣28x （0≤x≤），
（3）当0≤x≤3时，
100x=300﹣28x，
解得x=.
当3≤x≤时，
300﹣28x=﹣80x+540，
x=.
∴甲、乙两车相遇的时间为或小时，
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题．
17、（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
(1)由AM＝2AE＝4，利用平行四边形的性质可求出BC=AD=1，利用直角三角形的性质得出BE、CE的长,进而得出答案;
(2) 延长EM，CD交于点N，连接CM．通过证明△AEM≌△DNM，可得EM＝MN，然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可证MN＝MC，然后根据三角形外角的性质证明即可.
【详解】
（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，
∴AD＝2AM＝1．在▱ABCD的面积中，BC＝CD＝1，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝4，
∴AB＝6，CE＝4，
∴▱ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；
（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．
∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠N，
在△AEM和△DNM中
∵∠AEM=∠N，
AM=DM，
∠AME=∠DMN，
∴△AEM≌△DNM（AAS），
∴EM＝MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜边的中线，
∴MN＝MC，
∴∠N＝∠MCN，
∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．
此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识.熟练应用平行四边形的性质是解（1）关键，正确作出辅助线是解（2）的关键.
18、（1），是的一次函数；（2）.
【解析】
【试题分析】（1）根据正比例函数的定义设：y1=k1x（k1≠0），y2= ，根据y＝y1＋y2，得y=k1x+，根据题意，列方程组： 解得： .再代入y=k1x+即可.
(2)将x=3代入（1）中的函数解析式,求函数值即可.
【试题解析】
（1）设y1=k1x（k1≠0），y2=
∴y=k1x+
∵当x=1时，y=-1；当x=3时，y=5，
解得：
∴y=-x+1.
则y是x 的一次函数.
（2）当x=3时，y=-2.
【方法点睛】本题目是一道考查正比例函数与一次函数的问题，关键注意：y2与x－2成正比例，设为y2= .
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、y＝x﹣1．
【解析】
可以先求出点A的坐标，进而知道直线平移的距离，得出点B的坐标，平移前后的k相同，设出平移后的关系式，把点B的坐标代入即可．
【详解】
∵点A（m，1）在反比例函数y＝的图象，
∴1＝，即：m＝2，
∴A（2，1）、B（2，0）
点A在y＝kx上，
∴k＝
∴y＝x
∵将直线y＝x平移2个单位得到直线l，
∴k相等
设直线l的关系式为：y＝x+b，把点B（2，0）代入得：b＝﹣1，
直线l的函数关系式为：y＝x﹣1；
故答案为：y＝x﹣1．
本题考查反比例函数的图象上点的坐标的特点、待定系数法求函数解析式、一次函数和平移等知识，理解平移前后两个因此函数的k值相等，是解决问题的关键．
20、
【解析】
证Rt△AED≌Rt△AFB，推出S△AED＝S△AFB，根据四边形ABCD的面积是24cm2得出正方形AFCE的面积是12cm2，求出AE、EC的长，根据勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：∵四边形AFCE是正方形，
∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°，
∵在Rt△AED和Rt△AFB中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL），
∴S△AED＝S△AFB，
∵四边形ABCD的面积是12cm2，
∴正方形AFCE的面积是12cm2，
∴AE＝EC＝（cm），
根据勾股定理得：AC＝，
故答案为：.
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形性质，勾股定理等知识点的应用．关键是求出正方形AFCE的面积．
21、
【解析】
连接AE，由垂直平分线的性质可得AE=BE，利用勾股定理可得BC=4，设CE的长为x，则BE=4-x，在△ACE中利用勾股定理可得x的长，即得CE的长．
【详解】
解：连接AE，
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
由勾股定理得BC=4，
设CE的长为x，则BE=AE=4-x，在Rt△ACE中，
由勾股定理得：x2+32=（4-x）2，
解得：x=，
故答案为：．
本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．
22、1
【解析】
菱形的对角线互相垂直平分，四边相等，可求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】
∵菱形的边长为5，一条对角线长为8
∴另一条对角线的长
∴菱形的面积
故答案为：1．
本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的性质、菱形的面积公式是解题的关键．
23、x＝﹣1．
【解析】
直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可．
【详解】
∵一次函数y＝mx+n与x轴的交点为（﹣1，0），∴当mx+n＝0时，x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）①见解析，②，理由见解析.
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得到∠OAF=∠OCE，证明△OAF≌△OCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
（2）①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，根据三角形的外角性质得到∠BAG=∠BGA；
②证明△AME≌△BNG，根据全等三角形的性质得到ME=NG，根据等腰直角三角形的性质得到BE=GC，根据（1）中结论证明即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴；
（2）①过作于，交于，过作于，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，又，
∴，
设，
则，，
∴；
②，
理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∴，
∵，
∴.
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
25、（1）（2）2m-2n-1
【解析】
(1)解关于x、y的不等式组，得﹣3＜m＜1 .同理可以得出﹣5≤a≤. 由于原不等式组恰好有三个整数解，则-3≤＜-2，解得-4≤n＜﹣.
(2)由m、n的取值范围得出m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0，从而化简得出最后结果.
【详解】
（1），
①+②得：2x=m+1，即x=＜1；
①﹣②得：4y=1﹣m，即y=＜1，
解得：﹣3＜m＜1；
由a+2≥1得a≥﹣5，
2n-3a≥1得a≤.
所以﹣5≤a≤.
原不等式组恰好有三个整数解，则-3≤＜-2，
解得-4≤n＜﹣.
（2）∵﹣3＜m＜1，
∴m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0
原式=m+3﹣(1-m)-(2n+8)=2m-2n-1．
本题是考查解不等式组、绝对值的化简、算术平方根的化简、相反数的综合性题目,是中考常出现的题型.理解关于a的方程组恰好有三个整数解是解决本题的关键.
26、是线段AB的“等长点”，不是线段AB的“等长点”，理由见解析；，或，．
【解析】
先求出AB的长与B点坐标，再根据线段AB的“等长点”的定义判断即可；
分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n．
【详解】
点，，
，，，
．
点，
，
，
是线段AB的“等长点”，
点，
，，
，，
不是线段AB的“等长点”；
如图，
在中，，，
，
．
分两种情况：
当点D在y轴左侧时，
，
，
点是线段AB的“等长点”，
，
，
，；
当点D在y轴右侧时，
，
，
，
点是线段AB的“等长点”，
，
．
综上所述，，或，．
本题考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质解的关键是理解新定义，解的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人