2021-2022学年山西省运城市盐湖区八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年山西省运城市盐湖区八年级上学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题.等内容，欢迎下载使用。

1．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△BCD中，CD边上的高是（ ）
A．BDB．ADC．AFD．CD
3．如图，△ABC≌△DEC，B，C，D三点在同一直线上，若CE＝6，AC＝9，则BD的长为（ ）
A．3B．9C．12D．15
4．已知三角形三个内角的度数之比为3：3：4，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠DAE的度数为（ ）
A．46°B．56°C．36°D．26°
6．如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝26°，∠CDB′＝94°，则∠C′的度数为（ ）
A．34°B．40°C．45°D．60°
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，AB＝7cm，BD＝3cm，则△BDE的周长为（ ）
A．13cmB．10cmC．4cmD．7cm
8．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB＝7cm，BC＝15cm，则AE的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
9．如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝5：3，则∠DBC的度数为（ ）
A．12°B．24°C．20°D．36°
10．有一题目：“如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE＝DF，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB＝140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.
11．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．
12．如图，在平面直角坐标系上有A（0，3），B（2，1），C（2，﹣3）三点，若P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为 ．
13．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是 ．
14．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是 ．
15．如图，有一个三角形纸片ABC，∠C＝30°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
16．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
（2）如图2，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．求证：BC＝DC．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A在直线l上，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M，N．
（1）你能找到一对全等的三角形吗？并说明理由．
（2）线段BM，CN，MN之间有何数量关系？并说明理由．
19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝30°，点D在BC边上由点C向点B匀速运动（点D不与点B，C重合），速度为2cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E．
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝ °．
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝ cm．此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由．
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化．当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，3），B（﹣1，﹣2），C（﹣4，1）．
（1）求△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
21．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
22．如图，将△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD和△AEC，线段BD与AE交于点F，连接BE．
（1）若∠ABC＝20°，∠ACB＝30°，求∠DAE及∠BFE的度数．
（2）若BD所在的直线与CE所在的直线互相垂直，求∠CAB的度数．
23．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在△OAB与△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD．
（1）如图1，△OAB与△OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，△OAB与△OCD是对顶三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3，△OAB与△OCD是对顶三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG＝OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，在△BCD中，CD边上的高是（ ）
A．BDB．ADC．AFD．CD
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：在△BCD中，CD边上的高是BD，
故选：A．
3．如图，△ABC≌△DEC，B，C，D三点在同一直线上，若CE＝6，AC＝9，则BD的长为（ ）
A．3B．9C．12D．15
【分析】关键是根据全等三角形的性质解答即可．
解：∵△ABC≌△DEC，CE＝6，AC＝9，
∴BC＝CE＝6，CD＝AC＝9，
∴BD＝BC+CD＝6+9＝15，
故选：D．
4．已知三角形三个内角的度数之比为3：3：4，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【分析】（方法一）设三角形最大的内角为4x°，则另外两个内角均为3x°，利用三角形内角和定理可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再分别将其代入3x°，4x°中可求出三角形的各内角，进而可得出这个三角形是等腰三角形；
（方法二）由三个内角之间的比例关系，利用等腰三角形的定义，可得出这个三角形为等腰三角形．
解：（方法一）设三角形最大的内角为4x°，则另外两个内角均为3x°，
依题意得：3x+3x+4x＝180°，
解得：x＝18，
∴3x°＝3×18°＝54°，4x°＝4×18°＝72°，
∴这个三角形是等腰三角形；
（方法二）∵三角形三个内角的度数之比为3：3：4，
∴这个三角形为等腰三角形．
故选：A．
5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠DAE的度数为（ ）
A．46°B．56°C．36°D．26°
【分析】根据正五边形的性质得出AE＝DE和∠E的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE＝DE，∠E＝＝108°，
∴△AED是等腰三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝×（180°﹣∠E）＝×（180°﹣108°）＝36°．
故选：C．
6．如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝26°，∠CDB′＝94°，则∠C′的度数为（ ）
A．34°B．40°C．45°D．60°
【分析】根据对顶角相等求出∠ADB，根据三角形内角定理求出∠BAD，根据角平分线的定义求出∠BAC，进而求出∠C，根据全等三角形对应角相等解答即可．
解：∵∠CDB′＝94°，
∴∠ADB＝∠CDB′＝94°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝60°，
∵AB′平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝34°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′＝∠C＝34°，
故选：A．
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，AB＝7cm，BD＝3cm，则△BDE的周长为（ ）
A．13cmB．10cmC．4cmD．7cm
【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠CAD，求得AE＝DE，于是得到结论．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△BDE的周长＝DE+BE+BD＝AE+BE+BD＝AB+BD，
∵AB＝7cm，BD＝3cm，
∴△BDE的周长为7+3＝10（cm），
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB＝7cm，BC＝15cm，则AE的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】利用AAS证得△PBE≌△PBF，从而得BE＝BF，再由HL证得Rt△PEA≌Rt△PFC，从而得到AE＝CF，根据则有AB+AE＝BC﹣FC，即可解答．
解：∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠E＝∠PFB＝90°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠EBP＝∠FBP，
在△PBE与△PBF中，
，
∴△PBE≌△PBF（AAS），
∴BE＝BF，
∴AB+AE＝BC﹣FC，
连接AP，CP，如图所示，
∵PD是AC的垂直平分线，
∴AP＝CP，
∵PB平分∠ABC，PF⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PF，
在Rt△PEA与Rt△PFC中，
，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴AE＝CF，
∴AB+AE＝BC﹣FC，
即7+AE＝15﹣AE，
解得：AE＝4cm．
故选：B．
9．如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝5：3，则∠DBC的度数为（ ）
A．12°B．24°C．20°D．36°
【分析】设∠A＝5x，根据全等三角形的性质用x表示出∠BDE，∠E，根据三角形内角和定理求出x，结合图形计算，得到答案．
解：设∠A＝5x，则∠C＝3x，
∵∠BDA＝∠A，
∴∠BDA＝5x，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠BDE＝∠A＝5x，∠E＝∠C＝3x，
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠E＝180°，
∴5x+5x+5x+3x＝180°，
解得：x＝10°，
∴∠A＝5x＝50°，∠C＝3x＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∠ABD＝180°﹣50°×2＝80°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝100°﹣80°＝20°，
故选：C．
10．有一题目：“如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE＝DF，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB＝140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【分析】以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB，结合平行线的性质可求解∠DFB＝140°，当点F位于点F'处时，由DF＝DF'可求解∠DF'B的度数．
解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，
∴∠DFF'＝∠DF'F，
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB＝∠DEB，
∵DE∥AB，∠ABC＝40°，
∴∠DEB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠DFB＝140°；
当点F位于点F'处时，
∵DF＝DF'，
∴∠DF'B＝∠DFF'＝40°，
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.
11．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 9 ．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9．
12．如图，在平面直角坐标系上有A（0，3），B（2，1），C（2，﹣3）三点，若P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答．
解：如图所示：分别作线段AB、BC的垂直平分线交于点P，
点P的坐标为（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
13．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是 22cm ．
【分析】首先根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，再根据AE的长可以计算出AB+CB，进而可得△ABD的周长．
解：根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，
∵AE＝4cm，
∴CE＝4cm，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+CB＝30﹣8＝22（cm），
△ABD的周长是：AB+BD+AD＝AB+BC＝22cm，
故答案为：22cm．
14．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是 20 ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．
解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF
＝×（AB+BC+AC）×2
＝×20×2
＝20，
故答案为：20．
15．如图，有一个三角形纸片ABC，∠C＝30°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是 30°或15°或60° ．
【分析】分BC＝CD或BC＝BD或CD＝BD三种情况，求出∠ADB，再分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A即可得解．
解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
①BC＝CD，此时∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝75°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣75°＝105°，
AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝30°；
②BC＝BD，此时∠CDB＝∠C＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣30°＝150°，
AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝15°；
③CD＝BD，此时∠CDB＝180°﹣2∠C＝120°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣120°＝60°，
AB＝AD时，∠A＝180°﹣2∠ADB＝60°；
或AB＝BD，∠A＝60°；
或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝60°．
综上所述，∠A的度数可以是30°或15°或60°．
故答案为：30°或15°或60°．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
16．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
（2）如图2，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质求解即可；
（2）由“SAS”可证△ABF≌△CDE，可得结论．
解：（1）在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAE＝∠EAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣40°﹣60°）＝40°．
在△ACD中，∠ADC＝90°，∠C＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°．
证明：（2）∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，且AB＝CD，∠B＝∠C，
在△ABF与△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠A＝∠D．
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．求证：BC＝DC．
【分析】连接BD，根据AB＝AD，可得∠ABD＝∠ADB，再根据∠ABC＝∠ADC，可证∠CBD＝∠CDB即可．
【解答】证明：连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD，∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A在直线l上，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M，N．
（1）你能找到一对全等的三角形吗？并说明理由．
（2）线段BM，CN，MN之间有何数量关系？并说明理由．
【分析】（1）根据题意证明∠MBA＝∠NAC，利用AAS定理证明△ABM≌△CAN；
（2）根据全等三角形的性质得到CN＝AM，BM＝AN，结合图形解答．
解：（1）△ABM≌△CAN，
理由如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠MAB+∠NAC＝90°，
∵BM⊥MN，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠MBA＝∠NAC，
在△ABM和△CAN中，
，
∴△ABM≌△CAN（AAS）；
（2）BM+CN＝MN，
理由如下：∵△ABM≌△CAN，
∴CN＝AM，BM＝AN，
∴MN＝AM+AN＝BM+CN．
19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝30°，点D在BC边上由点C向点B匀速运动（点D不与点B，C重合），速度为2cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E．
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变 大 （填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝ 75 °．
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝ 6 cm．此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由．
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化．当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为 60°或105° ．
【分析】（1）根据点D的运动情况判断∠BDA的变化情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAD的度数；
（2）根据点D的运动情况求出CD的长，利用AAS定理证明△ABD≌△DCE；
（3）分AD＝AE、DA＝DE、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质结合角的计算求出∠BDA的度数．
解：（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变大，
D点运动到图1位置时，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
故答案为：大；75°；
（2）点D运动3s后到达图2位置，CD＝2×3＝6cm，此时△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵CD＝CA＝6cm，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADB＝105°，∠EDC＝75°﹣30°＝45°，
∴∠DEC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
故答案为：6；
（3）△ADE为等腰三角形时分三种情况：
①当AD＝AE时，∠ADE＝30°，
∴∠AED＝∠ADE＝30°，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝120°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，D不与B、C重合，
∴AD≠AE；
②当DA＝DE时，∠ADE＝30°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝75°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝75°+30°＝105°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝30°，
∴∠EAD＝∠EDA＝30°，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝30°+30°＝60°．
综上可知：在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形，此时∠BDA的度数为60°或105°．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，3），B（﹣1，﹣2），C（﹣4，1）．
（1）求△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求解即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据所作图形即可得出答案．
解：（1）△ABC的面积为×5×3＝7.5；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（3）点A1（1，3），B1（1，﹣2），C1（4，1）．
21．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
【分析】（1）根据平行线性质求出∠A＝∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
22．如图，将△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD和△AEC，线段BD与AE交于点F，连接BE．
（1）若∠ABC＝20°，∠ACB＝30°，求∠DAE及∠BFE的度数．
（2）若BD所在的直线与CE所在的直线互相垂直，求∠CAB的度数．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠2＝∠1＝30°，∠4＝∠3＝20°，由周角的性质和外角性质可求解；
（2）由三角形内角和定理可求解．
解：（1）∵△ABC沿AC、AB翻折得到△AEC和△ABD，
∴△AEC≌△ABC，△ABD≌△ABC．
∴∠2＝∠1＝30°，∠4＝∠3＝20°，
∠EAC＝∠BAD＝∠BAC＝180°﹣30°﹣20°＝130°，
∵∠DAC＝360°﹣∠BAD﹣∠BAC，
∴∠DAC＝360°﹣130°﹣130°＝100°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝130°﹣100°＝30°，
∴∠BFE＝∠DFA＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
（2）∵BD⊥CE，
∴∠DBC+∠ECB＝90°．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠3+2∠1＝90°．
∴∠3+∠1＝45°，
在△ABC中，∠CAB＝180°﹣（∠3+∠1）＝180°﹣45°＝135°．
23．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在△OAB与△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD．
（1）如图1，△OAB与△OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，△OAB与△OCD是对顶三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3，△OAB与△OCD是对顶三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG＝OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
【分析】（1）结论：AB∥CD．证明∠OCD＝∠OAB，可得结论；
（2）结论：AC＝BD，AC⊥BD．如图2中，设BD交AB于点M，交OC于点J．证明△AOC≌△BOD（SAS），推出AC＝BD，∠OCM＝∠ODJ，可得结论；
（3）证明△AEG≌△DEO（SAS），推出AG＝OD，∠G＝∠DOE，推出AG∥OD，推出∠OAG+∠AOD＝180°，由∠COD＝∠AOB＝90°，推出∠AOD+∠BOC＝180°，推出∠GAO＝∠COB，再证明△GAO≌△COB（SAS），可得结论．
【解答】（1）解：结论：AB∥CD．
理由：如图1中，∵△OAB，△OCD是对顶三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，
∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD），∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB），
∴∠OCD＝∠OAB，
∵A，O，C共线，
∴AB∥CD；
（2）解：结论：AC＝BD，AC⊥BD．
理由：如图2中，设BD交AB于点M，交OC于点J．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠OCM＝∠ODJ，
∵∠DJO＝∠CJM，
∴∠DOJ＝∠CMJ＝90°，即AC⊥BD；
（3）证明：如图3中，
在△AEG和△DEO中，
，
∴△AEG≌△DEO（SAS），
∴AG＝OD，∠G＝∠DOE，
∴AG∥OD，
∴∠OAG+∠AOD＝180°，
∵∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠GAO＝∠COB，
∵OD＝OC，
∴AG＝OC，
在△GAO和△COB中，
，
∴△GAO≌△COB（SAS），
∴∠AOG＝∠OBC，
∵∠AOG+∠BOF＝90°，
∴∠OBC+∠BOF＝90°，
∴∠BFO＝90°，即EF⊥BC．