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2024-2025学年高三上学期开学适应性考试模拟卷A（集合与命题、等式与不等式、函数与导数、数列）
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这是一份2024-2025学年高三上学期开学适应性考试模拟卷A（集合与命题、等式与不等式、函数与导数、数列），文件包含2024-2025学年第一学期高三开学适应性考试模拟卷A集合与命题等式与不等式函数与导数数列原卷版docx、2024-2025学年第一学期高三开学适应性考试模拟卷A集合与命题等式与不等式函数与导数数列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知全集，集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵，，
∴，∴，故选A。
2．杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神。”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般。由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ）。
A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，
但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，
而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛，
因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件，故选C。
3．设的两根是、，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】，解得或，∴或，
∴或，∴，故选A。
4．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双型曲线，以下个函数中最能拟合该曲线的是（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】由函数的奇偶性性质可知、、为奇函数，为偶函数，
又由图像可知其为奇函数，排除B选项，
当时，、、
，又由图像可知当，，排除C选项、D选项，
故选A。
5．已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵是偶函数，∴，关于直线对称，
又∵在内单调递增，∴在内单调递减，
∴、、、，故选B。
6．已知函数为定义在上的连续可导函数，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵的定义域为，∴的零点跟的非零零点是完全一样的，
设，定义域为，，
当时，恒成立，∴在内单调递增，又时，
∴恒成立，∴在内无零点，
当时，恒成立，∴在内单调递减，又时，
∴恒成立，∴在内无零点，
∴的零点的个数为，∴的零点的个数为，故选A。
7．线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构。一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和、面积之和分别记为、，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（ ）。
A、
B、
C、存在正数，使得恒成立
D、
【答案】D
【解析】A选项，图1中正六边形的个数为，图2中正六边形的个数为，
由题意可知是首项为、公比为的等比数列，∴，∴，错，
B选项，由题意得、、，错，
C选项，由题意可知是首项为、公比为的等比数列，∴，，
∵，∴为单调递增数列，∴不存在正数，使得恒成立，错，
D选项，分析可得，图中的小正六边形的个数为个，每个小正六边形的边长为，
∴每个小正六边形的面积为，
∴，对，
故选D。
8．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】设，定义域为，，∴为偶函数，
∵，∴，∴当时，有两个零点，
且当时，，∴，
令，可得，设直线，
设，定义域为，，
∴在内单调递增，
设直线与函数相切于点，则，
又且，解得、、，
结合图像可知，当时，直线与曲线在上的图像有两个交点，
即函数在上有两个零点，即实数的取值范围为，故选D。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．下列式子中最小值为的是（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】BC
【解析】A选项，∵，∴，
当且仅当，即时等号成立，但，
∴的最小值不为，错，
B选项，∵、，∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，对，
C选项，∵、，且，
∴
，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，对，
D选项，令，可得，
∴不是的最小值，错，
故选BC。
10．若数列满足，（、），则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列。则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】ACD
【解析】当时，由可得、、……、，
又由，可得，即，累加可得：
，A选项对，
又，、、……、，累加可得：
，B选项错
∵，（、），
∴、、、，∴C选项对，
∴，∴D选项对，
故选ACD。
11．已知函数，直线：与曲线相切，则下列说法正确的是（ ）。
A、当时， B、当时， C、的最大值为 D、的最小值为
【答案】ACD
【解析】的定义域为，，设切点，
则，则直线的方程可化为，即，
A选项，由得，∴，∴，对，
B选项，由得，∴，∴，错，
C选项，设，定义域为，，令，解得，
当时，，∴在上单调递增，
当时，，∴在在上单调递减，
∴，即的最大值为，对，
D选项，设，定义域为，，令，解得，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在在上单调递增，
∴，即的最小值为，对，
故选ACD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．在各项都是正数的等比数列中，、、成等差数列，则 。
【答案】
【解析】设数列的公比为（），∵、、成等差数列，∴，∴，
∵，∴，解得，∴。
13．设、、是三个正实数，且，则的最大值为 。
【答案】
【解析】由得：，
则可以看做关于的方程的一个正根，∴，
∴，
又∵，∴，∴，当且仅当时等号成立。
14．函数与的定义域都是，直线（）与、的图像分别交于、两点，若的值是不等于的常数，则称曲线与为“平行曲线”，设函数（、），且与为区间在的“平行曲线”， ，在区间上的零点唯一，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】∵与是在内的平行曲线，且，∴可将的图像上下平移得到的图像，
∵，∴设，
∵，∴，∴，令，即，
设，∵在上存在唯一零点，
即水平直线与函数的图像在内有且仅有一个交点，
，∵在 时，，∴在上单调递增，
∴，代入，即实数的取值范围为。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）设数列的前项和为。
（1）从下列三个条件中选出一个，证明：数列是等差数列；
①（）；②数列是等差数列；③数列是等比数列。
（2）若数列是等差数列，且、，求数列的前项和。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
【解析】（1）选①：当时，，解得， 1分
当时，，
即，
即，∴，
两式相减得：，
即，即， 4分
∴数列是等差数列； 5分
选②：设数列的公差为，首项为， 1分
则，∴，
当时，
，
验证，当时，符合， 4分
∴当时，，∴数列是首项为，公差为的等差数列，5分
选③：∵数列是等比数列，∴时，，
即，∴， 4分
∴数列是等差数列； 5分
（2）∵数列是等差数列，∴其公差为，∴， 7分
∴， 8分
∴， 10分
∴
。 13分
16．（本小题满分分）已知、，其中且。
（1）求的值；
（2）若，解关于的不等式：。
【解析】（1）∵、，其中且，∴、， 2分
∴； 4分
（2）∵，∴， 6分
∴原不等式可化为，即， 8分
当时，不等式为，解得，∴原不等式的解集为， 9分
当时，不等式为，解得或，
∴原不等式的解集为， 11分
当时，不等式为， 12分
当时，即时，等式为，无解，∴原不等式的解集为， 13分
当时，即时，解得，∴原不等式的解集为， 14分
当时，即时，解得，∴原不等式的解集为。 15分
17．（本小题满分分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”。现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇。衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率。
（1）若曲线与曲线在处的曲率分别为、，比较与的大小；
（2）求正弦曲线（）的曲率的最大值。
【解析】（1）的定义域为，，， 2分
∴， 3分
的定义域为，，， 5分
∴， 6分
∴； 7分
（2）的定义域为，，，
∴，， 9分
令，则，， 10分
设，定义域为，在定义域内任取、，设， 11分
则
，
又∵，∴，
∴，∴在内单调递减，∴， 14分
即的最大值为，∴的最大值为。 15分
18．（本小题满分分）已知数列的前项和为，，。
（1）求数列和的通项公式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）当时，，即，解得，∴， 2分
当时，、，
∴，即， 4分
又∵，∴，
∴，
∴，∴是首项为、公比为的等比数列，∴， 7分
∴； 8分
（2）由（1）可知， 10分
∴恒成立可化为恒成立，∴恒成立，
即恒成立， 12分
设，则，
当（）时，，
当时，，
当（）时，，
∴，∴数列的最大值为， 16分
∴，∴，即实数的取值范围为。 17分
19．（本小题满分分）已知函数，其中是自然对数的底数。
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）记为的导函数，当时，证明：。
【解析】（1）的定义域为，， 2分
∴，又，
∴曲线在点处的切线方程为，即； 4分
（2）要证，
即证，
即证，即证， 6分
令，∵，∴，即证， 7分
令，定义域为，，令，解得，
当时，，∴在内单调递减，
当时，，∴在内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，∴，∴，
∴恒成立，当且仅当时取等号，
∴当时，恒成立，当且仅当时取等号， 11分
令，，，令，解得，
当时，，，，∴在内单调递减，
当时，，，，∴在内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，∴，∴，
∴当时，恒成立，当且仅当时取等号， 15分
∴，又因为两个等号不能同时取得，∴，
即，即当时，。 17分
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知全集，集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵，，
∴，∴，故选A。
2．杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神。”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般。由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ）。
A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，
但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，
而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛，
因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件，故选C。
3．设的两根是、，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】，解得或，∴或，
∴或，∴，故选A。
4．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双型曲线，以下个函数中最能拟合该曲线的是（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】由函数的奇偶性性质可知、、为奇函数，为偶函数，
又由图像可知其为奇函数，排除B选项，
当时，、、
，又由图像可知当，，排除C选项、D选项，
故选A。
5．已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵是偶函数，∴，关于直线对称，
又∵在内单调递增，∴在内单调递减，
∴、、、，故选B。
6．已知函数为定义在上的连续可导函数，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵的定义域为，∴的零点跟的非零零点是完全一样的，
设，定义域为，，
当时，恒成立，∴在内单调递增，又时，
∴恒成立，∴在内无零点，
当时，恒成立，∴在内单调递减，又时，
∴恒成立，∴在内无零点，
∴的零点的个数为，∴的零点的个数为，故选A。
7．线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构。一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和、面积之和分别记为、，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（ ）。
A、
B、
C、存在正数，使得恒成立
D、
【答案】D
【解析】A选项，图1中正六边形的个数为，图2中正六边形的个数为，
由题意可知是首项为、公比为的等比数列，∴，∴，错，
B选项，由题意得、、，错，
C选项，由题意可知是首项为、公比为的等比数列，∴，，
∵，∴为单调递增数列，∴不存在正数，使得恒成立，错，
D选项，分析可得，图中的小正六边形的个数为个，每个小正六边形的边长为，
∴每个小正六边形的面积为，
∴，对，
故选D。
8．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】设，定义域为，，∴为偶函数，
∵，∴，∴当时，有两个零点，
且当时，，∴，
令，可得，设直线，
设，定义域为，，
∴在内单调递增，
设直线与函数相切于点，则，
又且，解得、、，
结合图像可知，当时，直线与曲线在上的图像有两个交点，
即函数在上有两个零点，即实数的取值范围为，故选D。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．下列式子中最小值为的是（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】BC
【解析】A选项，∵，∴，
当且仅当，即时等号成立，但，
∴的最小值不为，错，
B选项，∵、，∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，对，
C选项，∵、，且，
∴
，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，对，
D选项，令，可得，
∴不是的最小值，错，
故选BC。
10．若数列满足，（、），则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列。则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】ACD
【解析】当时，由可得、、……、，
又由，可得，即，累加可得：
，A选项对，
又，、、……、，累加可得：
，B选项错
∵，（、），
∴、、、，∴C选项对，
∴，∴D选项对，
故选ACD。
11．已知函数，直线：与曲线相切，则下列说法正确的是（ ）。
A、当时， B、当时， C、的最大值为 D、的最小值为
【答案】ACD
【解析】的定义域为，，设切点，
则，则直线的方程可化为，即，
A选项，由得，∴，∴，对，
B选项，由得，∴，∴，错，
C选项，设，定义域为，，令，解得，
当时，，∴在上单调递增，
当时，，∴在在上单调递减，
∴，即的最大值为，对，
D选项，设，定义域为，，令，解得，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在在上单调递增，
∴，即的最小值为，对，
故选ACD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．在各项都是正数的等比数列中，、、成等差数列，则 。
【答案】
【解析】设数列的公比为（），∵、、成等差数列，∴，∴，
∵，∴，解得，∴。
13．设、、是三个正实数，且，则的最大值为 。
【答案】
【解析】由得：，
则可以看做关于的方程的一个正根，∴，
∴，
又∵，∴，∴，当且仅当时等号成立。
14．函数与的定义域都是，直线（）与、的图像分别交于、两点，若的值是不等于的常数，则称曲线与为“平行曲线”，设函数（、），且与为区间在的“平行曲线”， ，在区间上的零点唯一，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】∵与是在内的平行曲线，且，∴可将的图像上下平移得到的图像，
∵，∴设，
∵，∴，∴，令，即，
设，∵在上存在唯一零点，
即水平直线与函数的图像在内有且仅有一个交点，
，∵在 时，，∴在上单调递增，
∴，代入，即实数的取值范围为。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）设数列的前项和为。
（1）从下列三个条件中选出一个，证明：数列是等差数列；
①（）；②数列是等差数列；③数列是等比数列。
（2）若数列是等差数列，且、，求数列的前项和。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
【解析】（1）选①：当时，，解得， 1分
当时，，
即，
即，∴，
两式相减得：，
即，即， 4分
∴数列是等差数列； 5分
选②：设数列的公差为，首项为， 1分
则，∴，
当时，
，
验证，当时，符合， 4分
∴当时，，∴数列是首项为，公差为的等差数列，5分
选③：∵数列是等比数列，∴时，，
即，∴， 4分
∴数列是等差数列； 5分
（2）∵数列是等差数列，∴其公差为，∴， 7分
∴， 8分
∴， 10分
∴
。 13分
16．（本小题满分分）已知、，其中且。
（1）求的值；
（2）若，解关于的不等式：。
【解析】（1）∵、，其中且，∴、， 2分
∴； 4分
（2）∵，∴， 6分
∴原不等式可化为，即， 8分
当时，不等式为，解得，∴原不等式的解集为， 9分
当时，不等式为，解得或，
∴原不等式的解集为， 11分
当时，不等式为， 12分
当时，即时，等式为，无解，∴原不等式的解集为， 13分
当时，即时，解得，∴原不等式的解集为， 14分
当时，即时，解得，∴原不等式的解集为。 15分
17．（本小题满分分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”。现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇。衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率。
（1）若曲线与曲线在处的曲率分别为、，比较与的大小；
（2）求正弦曲线（）的曲率的最大值。
【解析】（1）的定义域为，，， 2分
∴， 3分
的定义域为，，， 5分
∴， 6分
∴； 7分
（2）的定义域为，，，
∴，， 9分
令，则，， 10分
设，定义域为，在定义域内任取、，设， 11分
则
，
又∵，∴，
∴，∴在内单调递减，∴， 14分
即的最大值为，∴的最大值为。 15分
18．（本小题满分分）已知数列的前项和为，，。
（1）求数列和的通项公式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）当时，，即，解得，∴， 2分
当时，、，
∴，即， 4分
又∵，∴，
∴，
∴，∴是首项为、公比为的等比数列，∴， 7分
∴； 8分
（2）由（1）可知， 10分
∴恒成立可化为恒成立，∴恒成立，
即恒成立， 12分
设，则，
当（）时，，
当时，，
当（）时，，
∴，∴数列的最大值为， 16分
∴，∴，即实数的取值范围为。 17分
19．（本小题满分分）已知函数，其中是自然对数的底数。
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）记为的导函数，当时，证明：。
【解析】（1）的定义域为，， 2分
∴，又，
∴曲线在点处的切线方程为，即； 4分
（2）要证，
即证，
即证，即证， 6分
令，∵，∴，即证， 7分
令，定义域为，，令，解得，
当时，，∴在内单调递减，
当时，，∴在内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，∴，∴，
∴恒成立，当且仅当时取等号，
∴当时，恒成立，当且仅当时取等号， 11分
令，，，令，解得，
当时，，，，∴在内单调递减，
当时，，，，∴在内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，∴，∴，
∴当时，恒成立，当且仅当时取等号， 15分
∴，又因为两个等号不能同时取得，∴，
即，即当时，。 17分
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2024-2025学年高三上学期开学适应性考试模拟卷B（集合与命题、等式与不等式、函数与导数、数列）： 这是一份2024-2025学年高三上学期开学适应性考试模拟卷B（集合与命题、等式与不等式、函数与导数、数列），文件包含2024-2025学年第一学期高三开学适应性考试模拟卷B集合与命题等式与不等式函数与导数数列原卷版docx、2024-2025学年第一学期高三开学适应性考试模拟卷B集合与命题等式与不等式函数与导数数列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
