2024-2025学年高三上学期开学适应性考试模拟卷B（集合与命题、等式与不等式、函数与导数、数列）

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本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】、，∴，故选C。
2．已知实数、，且，则“”的充要条件为（ ）。
A、， B、， C、 D、
【答案】C
【解析】由得，当时，，当时，，
∴“”的充要条件为“”，故选C。
3．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里。”意思是说：有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路。则该马第六天走的里程数约为
（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】设该马第（）天行走的里程数为，由题意可知，数列是公比为的等比数列，
∴该马七天所走的路程为，解得
∴，∴该马第六天行走的里程数为，故选B。
4．已知定义域为的函数的图像经过点，且对，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】令，定义域为，，∴在内单调递增，
而，由得，∴，解得，
故选C。
5．已知等比数列满足，，则（ ）。
A、 B、或 C、或 D、
【答案】A
【解析】∵，∴，∴，
则，解得或，
当或时，，，故选A。
6．已知、，直线与曲线：相切，则的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】的定义域为，，设切点为，
∴，解得、、，
∵、，∴，
当且仅当，即、时等号成立，∴的最小值是，故选D。
7．已知函数、函数的定义域均为，为奇函数，为偶函数，、，则
（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，
又∵是偶函数，∴，∴，∴的图像关于直线轴对称，
∵是奇函数，∴，∴，
∴，∴，即是周期为的函数，
∵，∴，
在中，令，则，∴，
又、，
∴
，故选C。
快解：也可以构造满足题意的函数，直接求出结果。
8．已知函数，若关于的方程（）有个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】做函数的图像如图所示，
关于的方程（）有个不等的实数根，
则必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，
由函数图像可知，
令，方程化为，，
为开口向下的二次函数，对称轴为，
又当时，，当时，，当时，，
由题意可知水平直线须有两个交点，∴，即实数的取值范围为，故选D。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．已知等比数列中，首项，公比，则下列说法正确的是（ ）。
A、数列是等比数列 B、数列是等差数列
C、数列是等比数列 D、数列是等差数列
【答案】CD
【解析】由题意可知，
A选项，，是等差数列，不是等比数列，错，
B选项，，不是等差数列，是等比数列，错，
C选项，，不是等差数列，是等比数列，对，
D选项，，是等差数列，不是等比数列，对，
故选CD。
10．已知，函数，函数，若对任意，恒成立，则
（ ）。
A、若，则 B、 C、 D、
【答案】AC
【解析】由题意可知对任意恒成立，
A选项，由得，∴，
即，又，∴，∴，
又，∴，对，
B选项，∵在上恒成立，
∴关于的方程有两个相等的实数根，∴，即，
∴，错，
C选项，∵、，∴，
当且仅当，即、时等号成立，对，
D选项，∵、，∴，
当且仅当，即、时等号成立，错，
故选AC。
11．定义在上的函数和，其导函数分别为和，若、、
，，则下列结论正确的是（ ）。
A、函数是奇函数 B、函数的图像关于点中心对称
C、函数的周期为 D、
【答案】ABD
【解析】∵，∴是偶函数，∴，则是奇函数，A选项对，
∵，是偶函数，是偶函数，
∴是偶函数，∴关于对称，
∵，是奇函数，是奇函数，
∴是奇函数，的图像关于点中心对称，
，，
则，其中为常数，又，∴，
∴函数的图像关于点中心对称，B选项对，
令等价于，，∴，
∵的图像关于点中心对称，∴，
∴令等价于，∴，∴，
可看成数列，
而∵的图像关于点中心对称，∴、，
∴、、、……是以为首项，为公差的等差数列，
、、、……是以为首项，为公差的等差数列，
∴没有周期性，C选项错，
，
，
∴，D选项对，
故选ABD。
【点睛】①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．函数的图像在点处的切线方程为 。
【答案】
【解析】的定义域为，，，∴点在上，
∴切线斜率为，则切线方程为，即。
13．设、、是三个正实数，且，则的最大值为 。
【答案】
【解析】∵，∴，∴，
∵、、，∴，即，
∴，设，则，
设，
当且仅当时等号成立，∴。
14．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于年提出，是至今仍未解决的世界难题。黎曼猜想研究的是无穷级数
，我们经常从无穷级数的部分和入手。已知正项数列的前项和为，且满足，则 。（其中表示不超过的最大整数）
【答案】
【解析】当时，，∴，即，∵，∴，
当时，由得，∴，即，
∴数列是首项为、公差为的等差数列，∴，
∵，∴，∴，
当时，，即，
∴，
令，
则，
，
即，从而。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）若函数在点处的切线方程为，求实数的值；
（2）若函数有三个不同的极值点，求实数的取值范围。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
∵函数在点处的切线斜率为，由题意可知，解得； 3分
（2）令，即，
设，定义域为，则方程有三个不同的根， 5分
又，令，解得或， 7分
当或时，，∴在和内单调递增，
当时，，∴在内单调递减，
∴在处取得极大值，在处取得极小值，
又当时，当时， 11分
方程有三个不同的根等价于，即有，解得，
∴实数的取值范围为。 13分
16．（本小题满分分）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，。
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并加以证明；
（3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）令，则，∴， 1分
令、，则，
∴； 3分
（2）函数在内单调递增，证明如下： 4分
任取、，设，
则，
∵，∴，∴，∴，
∴函数在内单调递增； 8分
（3）∵，∴，
又∵，∴可化为， 10分
又∵在内单调递增，∴对任意的恒成立，
∴对任意的恒成立，∴，， 12分
设，∵，∴，
设，，∴在内单调递增，∴， 14分
∴，即实数的取值范围为。 15分
17．（本小题满分分）已知等比数列的公比，，且是和的等差中项。又数列满足，数列的前项和为。
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式。
【解析】（1）∵是和的等差中项，∴，
又，∴，解得， 2分
∴，即，即，又，∴； 4分
（2）设，数列的前项和为，则，
当时，
当时，，
验证，当时符合，∴当时，， 6分
又由（1）可知，∴， 7分
当时，
， 9分
∴ ， 10分
上式减下式得：
， 12分
∴， 13分
验证，当时，符合，∴当时，。 15分
18．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点、，且，证明：。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
当时，恒成立，∴在上单调递增， 2分
当时，令，解得，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在上单调递增； 4分
（2）∵、是函数的两个零点，∴，令，则，
设，定义域为，，令，解得，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在上单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，∴， 7分
又，，当时，，当时，，
∴，， 9分
先证明，即证明，即只需证明，
设，定义域为，，
当时，，∴在内单调递增，∴，
∴，∴， 13分
再证明，∵，只需证明，
即证明，
∵，∴，∴，∴，∴， 16分
∴。 17分
19．（本小题满分分）如果数列、，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”。已知数列为数列的“接近数列”。
（1）若（），求、、的值；
（2）若数列是等差数列，且公差为（），求证：数列是等差数列；
（3）若数列满足，且，记数列、的前项和分别为、，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由。
参考数据：。
【解析】（1），则，即，即，解得，
又∵，∴， 1分
，则，即，即，解得，
又∵，∴， 2分
，则，即，即，解得，
又∵，∴； 3分
（2）由题意，∴、， 4分
∴，即，即， 5分
∵、，∴，即， 6分
∴数列是公差为（）的等差数列； 7分
（3）构造等比数列，公比为，∴，∴，
∴，∵，∴，
∴是首项为、公比为的等比数列，
∴，∴， 10分
∴， 11分
当为奇数时，，数列单调递减，∴，
∴，而，∴， 12分
当为偶数时，，数列单调递增，，
∴，而，∴， 13分
∴， 14分
当为偶数时，，由得，
即，无解， 15分
当为奇数时，，由得，
即，解得，正奇数的最小值为， 16分
∴存在正整数，使得，正整数的最小值为。 17分
点睛：本题考查数列的通项公式及求和，关键是分奇数和偶数并利用数列单调性确定的范围来确定。