2024-2025学年高三上学期开学适应性考试模拟卷D（集合与命题、等式与不等式、函数与导数、数列）

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本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．若集合、集合，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．若不等式的解集为，则函数的图像可以为（ ）。
A、 B、 C、 D、
3．下列判断正确的是（ ）。
A、函数的最小值为
B、命题“，”的否定是“，”
C、若对恒成立，则
D、“”是“、不都是”的充分条件
4．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
5．已知、，且，则的最小值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．已知实数、、满足：、、，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．已知欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，
。设数列满足：，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为
（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．若实数、、、满足：，则的最小值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．已知函数对任意都有，且。则下列结论正确的是（ ）。
A、为偶函数
B、若，则
C、
D、若，则
10．已知数列中各项均为正数，且（），则下列结论正确的是（ ）。
A、对任意的，都有
B、数列可能为常数列
C、若，则当时，
D、若，则数列为递减数列
11．已知函数，则（ ）。
A、有两个极值点
B、有三个零点
C、点是曲线的对称中心
D、曲线有两条过点的切线
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．写出一个存在极值的奇函数 。
13．设数列的前项和为，，（），则数列的前项和 。
14．若不等式恒成立，则实数的取值范围为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）已知数列的前项和为，，又当时且。
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在、、，且，使得 成立？若存在，写出一组符合条件的、、的值；若不存在，请说明理由。
从①、②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
16．（本小题满分分）已知二次函数的图像经过点，且，方程有两个相等的实根。
（1）求函数的解析式；
（2）设（）。
①判断函数的单调性，并证明；
②已知，求函数的最小值。
17．（本小题满分分）已知数列的前项和为，，。
（1）记，求数列的通项公式；
（2）求使不等式成立的最大正整数。
18．（本小题满分分）已知函数（且）的图像在点处的切线方程为
。
（1）用实数分别表示出实数和；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：（）。
19．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个不同的零点、（），
①求证：；
②若、满足，求实数的最大值。