高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性(精讲)(原卷版+解析)，共64页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

题型目录一览
一、知识点梳理
1.函数的奇偶性
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2.函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
3.函数的周期性
（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【常用结论】
1.奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
2.周期性技巧
3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
4.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
二、题型分类精讲
真题刷刷刷
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
四、双空题
12．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
题型一 函数的奇偶性
策略方法 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型训练】
一、单选题
1．函数的奇偶性是（ ）
A．是奇函数，不是偶函数
B．是偶函数，不是奇函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
2．已知奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
3．若函数为奇函数，则（ ）
A．2B．1C．0D．
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
5．函数为偶函数，当时，，则时，___________．
6．，若，则__________.
7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________.
三、解答题
8．已知函数
(1)求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并加以证明
9．已知函数．
(1)求的值；
(2)令，求证：为奇函数；
(3)若锐角满足，求的取值范围．
题型二 函数奇偶性的应用
策略方法 已知函数奇偶性可以解决的三个问题
【典例1】若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．5D．7
【典例2】若函数是偶函数，则、的值是（ ）
A．B．不能确定，
C．，不能确定D．
【典例3】偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，使的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数为上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．＋1D．
4．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知偶函数在上单调递增，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（ ）
A．为奇函数B．C．D．
三、填空题
9．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.
10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________.
12．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则_________.
题型三 函数的周期性
策略方法 函数周期性的判断与应用
【典例1】若函数满足，则可以是（ ）
A．B． C． D．
【典例2】若定义域为的奇函数满足，且，则 （ ）
A．B．C．D．
【典例3】已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数是定义在R上奇函数，且，，则（ ）
A．0B．C．2D．1
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的图像关于y轴对称，且周期为3，又，则的值是（ ）
A．2023B．2022C．D．1
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数满足，且是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．3C．D．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数满足，下列说法正确的是（ ）
A．函数是以2为周期的周期函数
B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为偶函数
D．函数为偶函数
三、填空题
7．（2023·江西南昌·统考二模）是以2为周期的函数，若时，，则________．
8．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为的奇函数满足，且，则________．
9．（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为__________.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．
(1)求f；
(2)证明是周期函数；
(3)记，求．
题型四 函数的对称性
策略方法 函数图象的对称性的判断与应用
【典例1】已知二次函数满足，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若的偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与得大小关系是
A．B．C．D．不能确定
3．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．B．C．2022D．2023
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象关于坐标原点对称B．的图象关于轴对称
C．的最大值为1D．在定义域上单调递减
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）的定义域为R，且函数的图像关于直线对称，函数的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．4是f（x）的周期B．
C．D．
三、填空题
6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.
7．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若的图像关于直线对称，则_________.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
四、解答题
9．（教材习题全解第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
题型五 函数性质的综合应用
【典例1】若的定义域为，且满足为偶函数，的图象关于成中心对称，则下列说法正确的个数是（ ）
①的一个周期为4
②
③图象的一条对称轴为
④
A．1B．2C．3D．4
【题型训练】
一、单选题
1．（河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题）已知定义在上的函数满足，，在区间内单调且，则（ ）
A．B．5055
C．D．1011
2．（湖南省衡阳市2022届高三下学期三模数学试题）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）函数的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）定义在上的函数满足，，若，其中为正整数，则（ ）
A．2是的一个周期B．
C．的图象关于对称D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于对称
C．函数是以为周期的周期函数D．函数是以为周期的周期函数
三、填空题
7．（2020·北京·统考高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知R上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，给出下列判断：①；②在上是增函数；③的图象关与直线对称；④函数在处取得最小值；⑤函数没有最大值，其中判断正确的序号是______ ．
①函数的奇偶性
②函数奇偶性的应用
③函数的周期性
④函数的对称性
⑤函数性质的综合应用
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
第08讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
1.函数的奇偶性
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2.函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
3.函数的周期性
（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【常用结论】
1.奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
2.周期性技巧
3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
4.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
二、题型分类精讲
真题刷刷刷
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
3．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
二、多选题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
三、填空题
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
四、双空题
12．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
题型一 函数的奇偶性
策略方法 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)偶函数
(2)奇函数
(3)奇函数
(4)非奇非偶函数
【分析】（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；
（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；
（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；
（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.
【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称.
，故为偶函数.
（2）的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
（3）的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
（4），
故，故为非奇非偶函数.
【题型训练】
一、单选题
1．函数的奇偶性是（ ）
A．是奇函数，不是偶函数
B．是偶函数，不是奇函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】A
【分析】由奇偶性定义直接判断即可.
【详解】的定义域为，，
是奇函数，不是偶函数.
故选：A.
2．已知奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由得，代入得，根据奇函数即可求解.
【详解】当，则，则，
又为奇函数，所以当时，.
故选：A.
3．若函数为奇函数，则（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】C
【分析】由为奇函数求得，即可由分段函数求值.
【详解】函数为奇函数，设，则，∴，
∴，.
故选：C.
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.
【详解】因为的定义域为，关于原点对称，
所以，即函数为奇函数，排除AB，
当时，，排除D.
故选：C
二、填空题
5．函数为偶函数，当时，，则时，___________．
【答案】
【分析】由偶函数的定义求解．
【详解】时，，是偶函数，
∴，
故答案为：．
6．，若，则__________.
【答案】4
【分析】令，可得为奇函数，再根据奇函数的性质求解.
【详解】令，则，为奇函数，
由，解得，所以.
所以.
故答案为：4.
7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________.
【答案】
【分析】利用奇偶性求出函数的解析式，分类讨论即可求解.
【详解】当时，，所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以当时，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
三、解答题
8．已知函数
(1)求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并加以证明
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）利用换元法，令，得，从而可得；
（2）先求函数定义域，利用奇偶性的定义进行证明.
【详解】（1）令，则，则，
所以.
（2）奇函数；
证明：定义域为，因为，
所以为奇函数.
9．已知函数．
(1)求的值；
(2)令，求证：为奇函数；
(3)若锐角满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）将和分别代入解析式求解即可；
（2）根据奇偶性的定义证明即可；
（3）根据奇偶性将不等式化为，利用单调性定义可证得为上的增函数，由此可得，结合三角函数知识可求得结果.
【详解】（1），，.
（2），则的定义域为；
，为奇函数.
（3）由得：；
，
设，则，
为上的增函数，，即，
又，.
题型二 函数奇偶性的应用
策略方法 已知函数奇偶性可以解决的三个问题
【典例1】若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．5D．7
【答案】C
【分析】求出时的解析式后，代入可求出结果.
【详解】因为为奇函数，且当时，，
所以当时，，
所以.
故选：C
【典例2】若函数是偶函数，则、的值是（ ）
A．B．不能确定，
C．，不能确定D．
【答案】D
【分析】根据定义域关于原点对称，求得，再根据，求得的值，即可求解.
【详解】因为函数是偶函数，
可得，解得，即，
又由，
因为函数为偶函数，则，即，
解得.故选：D.
【典例3】偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，使的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题中所给条件，可画出符合全部条件的函数图象辅助做题.
【详解】根据题目条件，想象函数图象如下:
因为，为偶函数，所以，
所以当和时，，
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，计算可得，经检验均符合题意，即可得解.
【详解】由为奇函数，
所以，
所以，可得，
解得，
当时，的定义域为，符合题意，
当时，的定义域为符合题意，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用偶函数的性质直接求解即可.
【详解】由已知得，当时，则，即，，
∵为偶函数，∴，即，
∴，，∴，
故选：.
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数为上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．＋1D．
【答案】B
【分析】由定义在上的奇函数有，求出的值，再由可得出答案.
【详解】函数为上的奇函数，则，解得
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据偶函数及单调性解不等式即可.
【详解】由题意，，则或.故选:D.
5．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知偶函数在上单调递增，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的对称性可得，即可求解集.
【详解】由偶函数的对称性知：在上递增，则在上递减，
所以，故，可得，
所以不等式解集为.
故选：D
6．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.
【详解】依题意，函数的大致图像如下图：
因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
则当或时，；当时，，
不等式化为或，
所以或或，
解得或或，即或，
即原不等式的解集为；故选：C.
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性直接求解.
【详解】函数在区间上是单调函数，又，且，
故此函数在区间上是减函数．
由已知条件及偶函数性质，知函数在区间上是增函数．
对于A，，故，故A错误；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选:BD.
8．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（ ）
A．为奇函数B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数定义换算可得为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.
【详解】因为为奇函数，所以，故
又，所以，故，
所以，为偶函数，A错误；
为奇函数，所以，，
所以，B正确；
，又的图象关于点对称，所以，
所以，C正确；
又，所以是以4为周期的函数，
，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
9．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值.
【详解】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，即，
即，解得.
故答案为：.
10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减
所以在上为增函数，
由，得，
，当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________.
【答案】1
【分析】根据为偶函数、为奇函数的性质，利用赋值法可得答案.
【详解】若为偶函数，为奇函数，
则，，
令，则，即，
令，则，即，
又因为，所以.
故答案为：1.
12．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则_________.
【答案】
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，计算出的值，结合以及周期性可求得的值.
【详解】因为为奇函数，则，
所以，，
在等式中，令，可得，解得，
又因为，则，①
所以，，②
由①②可得，即，
所以，函数为周期函数，且该函数的周期为，
所以，.
故答案为：.
题型三 函数的周期性
策略方法 函数周期性的判断与应用
【典例1】若函数满足，则可以是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进行判断求解即可.
【详解】因为，
所以函数的周期为.
A：因为，
所以，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；
B：因为，
所以，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；
C：该函数的最小正周期为：，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；
D：该函数的最小正周期为：，因此本选项符合题意，
故选：D
【典例2】若定义域为的奇函数满足，且，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数为的奇函数和满足，得到函数，再结合求解.
【详解】因为函数为的奇函数，
所以，
又满足，
所以，即，
所以，即，
因为，，
所以，，
所以
故选：D
【典例3】已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根已知条件求出的周期，根据周期性以及奇函数，结合已知条件即可求解.
【详解】因为满足，所以，
所以是周期为的函数，
当时，，所以，
又因为是奇函数，
，
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数是定义在R上奇函数，且，，则（ ）
A．0B．C．2D．1
【答案】B
【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则，根据已知得出，即可得出答案.
【详解】函数是定义在R上奇函数，且，
，
，
则函数是周期为8的周期函数，
则，
令，则，
，
故选：B.
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为，所以，所以的周期为6，
又为奇函数，所以，所以，
令，得，所以,
所以，
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的图像关于y轴对称，且周期为3，又，则的值是（ ）
A．2023B．2022C．D．1
【答案】D
【分析】利用的周期，根据函数的奇偶性和已知函数值，结合题意，求解即可.
【详解】因为的周期为；
又，则；
，则；
因为函数在上的图像关于y轴对称
所以为偶函数，
故，则；
故.
故选：D.
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数满足，且是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用周期和指数式的运算规则求函数值.
【详解】由是偶函数，得，令，则．
由，令，则，
则有，即，所以函数周期为4．
因为，则有，
所以．
故选：B
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由，都有，得出函数是周期为4的周期函数，再利用周期性逐一选项分析即可.
【详解】由得，
则，
故，
所以，
所以函数是周期为4的周期函数.
对于A,A错误；
对于B,，B正确；
对于C,，
所以，C正确；
对于D,，
所以，D正确.
故选：BCD.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数满足，下列说法正确的是（ ）
A．函数是以2为周期的周期函数
B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为偶函数
D．函数为偶函数
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.
【详解】依题意是偶函数，且，
，所以A错误.
，所以B正确.
，所以函数为偶函数，C正确.
若是偶函数，则，则函数是周期为的周期函数，这与上述分析矛盾，所以不是偶函数.D错误.
故选：BC
三、填空题
7．（2023·江西南昌·统考二模）是以2为周期的函数，若时，，则________．
【答案】
【分析】直接根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为是以2为周期的函数，若时，，
所以.
故答案为：.
8．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为的奇函数满足，且，则________．
【答案】2
【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由，得，
所以，即，于是有，
所以，即.
所以函数的周期为.
因为是定义域为的奇函数，
所以，即.
令，则，解得，
所以.
故答案为：.
9．（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据题意求出函数的周期为，再利用周期得到，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为函数满足，所以函数的周期为，
又因为，所以，
因为当时，，则有，
所以当且仅当，即时，取等号.故答案为：.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．
(1)求f；
(2)证明是周期函数；
(3)记，求．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可得、，结合即可求解；
（2）根据抽象函数的对称性和奇偶性可得，即可得出结果；
（3）由（1）可得，结合和周期为2，即可求解.
【详解】（1）因为对任意的，都有，
所以，
又，
，，
∴.
（2）设关于直线对称，故，
即，又是偶函数，
所以，
∴，将上式中以代换，
得，
则是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知，
∵
，
又，∴.
∵的一个周期是2，
∴，因此．
题型四 函数的对称性
策略方法 函数图象的对称性的判断与应用
【典例1】已知二次函数满足，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，对称轴为，又为二次函数以及已知条件可得的单调性，根据单调性即可求得实数的取值范围.
【详解】由已知，二次函数对称轴为，所以有.
又，所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，由，以及在上单调递增，可得；
当时，由，可得，
又在上单调递减，所以.
所以，实数的取值范围是.
故选：C.
【典例2】函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系，即可得出结果.
【详解】因为函数是偶函数，则，
所以，函数的图象关于直线对称，
因为，，且，
因为函数在上为增函数，所以，，即.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论.
【详解】对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）若的偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与得大小关系是
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】由题意可得，且，即可得到所求大小关系．
【详解】是偶函数，其定义域为，且在，上是减函数，则，且，则，故选．
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．
3．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．B．C．2022D．2023
【答案】D
【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数的对称轴和中心对称点及周期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出结果.
【详解】∵，∴关于对称，
∵为奇函数，∴由平移可得关于对称，且，
，即


上两式比较可得
∴函数是以4为周期的周期函数.，，
∴， ∴.
故选：D.
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象关于坐标原点对称B．的图象关于轴对称
C．的最大值为1D．在定义域上单调递减
【答案】AD
【分析】根据函数的奇偶性可判断AB；分离常数求出值域可判断C；分离常数后判断单调性可判断D.
【详解】因为，所以为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；
因为，，，所以不是偶函数，图象不关于轴对称，故不B正确；
因为，又，所以，所以，
所以，故C不正确；
因为，且为增函数，所以在定义域上单调递减，故D正确.
故选：AD
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）的定义域为R，且函数的图像关于直线对称，函数的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．4是f（x）的周期B．
C．D．
【答案】AC
【分析】首先利用轴对称、中心对称的公式，化简条件，然后利用赋值法即可求解.
【详解】关于对称，则有，令，
可得，令，得①.又的图像关于点对称，可得②，
联立①②，可得，故A正确；，令得，故C正确.
对于BD，例如，该函数符合AC，但是代入BD条件时，均不满足，故BD错误.
故选：AC
三、填空题
6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据已知，且得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.
【详解】因为.得出对称中心，且得出对称轴为轴，且周期为4的函数都可以.
故答案为：
7．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若的图像关于直线对称，则_________.
【答案】1
【分析】利用赋值法结合所给已知条件即可解决问题.
【详解】因为， 令
所以，
所以，
又的图像关于直线对称，
所以，
令，
则，
即，
所以.
故答案为：1.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
【答案】1
【分析】由有两等根，可得得，由可得 为对称轴，可得，则可得到的解析式，对分类讨论，利用函数单调性可得的最大值.
【详解】解：已知方程有两等根，即有两等根，
，解得；
，得，是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线，，
故，
若在上的最大值为，
当时，在上是增函数，，
当时，在上是增函数，在上是减函数，，
综上，的最大值为1.
故答案为：1.
四、解答题
9．（教材习题全解第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）将函数的解析式经过适当的变形，得出，构造函数，利用奇偶性的定义证明为奇函数，根据题设条件即可得出函数图象的对称中心；
（2）将“函数的图象关于点成中心对称图形”，类比为“函数的图象关于直线成轴对称图形”，再将“函数为奇函数”，类比为“函数为偶函数”，即可写出结论.
【详解】解：（1）.
设，则.
为奇函数.
的图象关于点对称.
即的图象的对称中心是点.
（2）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的证明以及函数的对称性，属于中档题.
题型五 函数性质的综合应用
【典例1】若的定义域为，且满足为偶函数，的图象关于成中心对称，则下列说法正确的个数是（ ）
①的一个周期为4
②
③图象的一条对称轴为
④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得，由此推理计算即可判断各命题作答.
【详解】的定义域为，由为偶函数，得，即，
由图象关于成中心对称，得，于是，
则，因此函数是周期为4的周期函数，①正确；
由，得函数的图象关于直线对称，因此图象的一条对称轴为，③正确；
由，得，则，，即，
因此，④正确；
而，则② 错误，
所以正确说法的个数是3，C正确.
故选：C
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
【题型训练】
一、单选题
1．（河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题）已知定义在上的函数满足，，在区间内单调且，则（ ）
A．B．5055
C．D．1011
【答案】A
【分析】由题意可通过换元法将已知条件函数的奇偶性和对称性推导出函数的周期性，再由在区间内单调且，可得根据函数周期性即可解得的值.
【详解】由题知在内单调，且时，有，由此可知，
当 时. ，得 ,
且 在 内单调，可得
，令, 则 .又，
故 . 令. 则 的周期为 4 .
当 趋于0时，有 . 故 ，
有 ，
，
根据的周期性可知 ，
，
由，
故
.
故选：A.
【点睛】关键点睛：由奇函数性质，以及对称性性质推出函数周期是解题的必要步骤，再由在区间内单调且，用特值法得出的值为难点，本题考查的是函数的性质的综合应用，属于较难题.
2．（湖南省衡阳市2022届高三下学期三模数学试题）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数满足为偶函数可知是一个周期函数，根据可判断单调性，利用周期性将自变量都转化到上，再利用单调性即可得大小关系.
【详解】因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故
因此即是以4为周期的周期函数.
，
当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以
故选：A
3．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）函数的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.
【详解】，则的定义域为R，
又，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当时，，故排除A.
故选：B.
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得出函数的对称性以及函数的周期为4.进而根据对称性可求出在以及上的解析式，作出函数图象，即可得出的解集.分别令取，即可得出答案.
【详解】因为，所以关于点对称，所以；
又，所以，所以有，故关于直线对称，所以.
所以，，所以有，所以，
所以的周期为4.
当时，，所以，
所以时，.
当时，，所以.
作出函数在上的图象如下图
当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以.
根据图象可得时，的解集为.
又因为的周期为4，
所以在实数集上的解集为.
令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误；
令，可得区间为，故B项错误；
令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误；
令，可得区间为，故D项正确.
故选：D.
二、多选题
5．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）定义在上的函数满足，，若，其中为正整数，则（ ）
A．2是的一个周期B．
C．的图象关于对称D．
【答案】BCD
【分析】根据题意推得，即，可判定A不正确；令，求得，推得，可判定C正确；根据，可判定B正确；由函数的对称性与周期性求得，结合函数是以为周期的周期函数，可判定D正确．
【详解】因为，，所以，
所以，即，
所以是周期为4的周期函数，所以A不正确；
在中，令，得，则，
因为，所以的图象关于直线对称，所以C正确；
因为，所以，
所以，所以B正确；
由函数的对称性与周期性可得，
因为，即，
所以，
则，
结合函数是以为周期的周期函数，可得，所以D正确．
故选：BCD.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于对称
C．函数是以为周期的周期函数D．函数是以为周期的周期函数
【答案】BC
【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，因为为偶函数，所以．
由，可得，可得，
所以，函数的图象关于直线对称，A错；
对于B选项，因为，则，
又因为，可得，
所以，函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，因为函数为偶函数，且，
则，从而，则，
所以，函数是以为周期的周期函数，C对；
对于D选项，因为，且，，
又因为，所以，，
又因为，则，所以，，
故，因此，函数是周期为的周期函数，D错.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
三、填空题
7．（2020·北京·统考高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知R上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，给出下列判断：①；②在上是增函数；③的图象关与直线对称；④函数在处取得最小值；⑤函数没有最大值，其中判断正确的序号是______ ．
【答案】①④
【分析】由可得函数的图象关于点对称，结合偶函数可得
是周期函数，再逐一分析各个命题判断作答.
【详解】由恒成立知，函数的图象关于点对称，
又是偶函数，由得，
则有，即，因此，是周期为4的周期函数，
对于①，在中，当时，，则，①正确；
对于②，是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，而的图象关于点对称，
所以在上是减函数，②不正确；
对于③，函数的图象关于点对称，③不正确；
对于④，由①②的信息知，在上单调递减，由是偶函数知，在上单调递增，
由周期是4知，在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得最小值，④正确；
对于⑤，由④的信息知，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值，⑤不正确.
故答案为：①④
【点睛】论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a，b使得，
则函数图象关于点对称.
①函数的奇偶性
②函数奇偶性的应用
③函数的周期性
④函数的对称性
⑤函数性质的综合应用
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称