高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第12讲函数的图像(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第12讲函数的图像(精讲)(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲等内容，欢迎下载使用。

题型目录一览
一、知识点梳理
1．利用描点法作函数的图象
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
(2)对称变换
①y＝f (x)的图象eq \(―――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象eq \(――――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f (－x)的图象；
③y＝f (x)的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象eq \(――――――――――→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝lgax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f (x)的图象
eq \(―――――――――――――――――――――――→,\s\up27(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)) y＝f (ax)的图象；
②y＝f (x)的图象
eq \(――――――――――――――――――――――――――――――→,\s\up10(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d10(0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af (x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f (x)的图象eq \(――――――――――――――――→,\s\up10(x轴下方部分翻折到上方),\s\d10(x轴及上方部分不变))y＝|f (x)|的图象；
②y＝f (x)的图象eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up10(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d10(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f (|x|)的图象．
【常用结论】
1．函数图象自身的轴对称
(1)f (－x)＝f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于x＝a对称⇔f (a＋x)＝f (a－x)⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (－x)＝f (2a＋x)；
(3)若函数y＝f (x)的定义域为R，且有f (a＋x)＝f (b－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)f (－x)＝－f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于(a，0)对称⇔f (a＋x)＝－f (a－x)⇔f (x)＝－f (2a－x)⇔f (－x)＝－f (2a＋x)；
(3)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f (a＋x)＝2b－f (a－x)⇔f (x)＝2b－f (2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f (a＋x)与y＝f (b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝2b－f (－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型一 作函数的图像
策略方法 作函数图象的两种常用方法
【典例1】已知.
（1）画函数的图象；
（2）若直线与的图象有4个不同的交点，求实数的取值范围以及所有交点横坐标之和.
【题型训练】
一、解答题
1．（1）画函数的图象，并写出单调增区间；
（2）函数有两个零点，求a的取值范围.
2．画函数图象：．
3．画函数图象
题型二 函数图像的辨识
策略方法 辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】如图，函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（甘肃省白银市靖远县2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（海南省2023届高三学业水平诊断（三）数学试题）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．（陕西省咸阳市2023届高三三模文科数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023年全国卷数学预测卷）函数在区间上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023年高三数学（理）押题卷四）函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
8．（重庆市2023届普高三模拟调研（三）数学试题）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．（安徽省芜湖市2023届高三下学期5月教学质量统测数学试题）函数在区间的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．（河北省2023届高三模拟（一）数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023年高考数学（理）终极押题卷）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
题型三 函数图像的应用
策略方法 1.利用函数图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解．
2.利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标．
【典例1】定义在上的函数满足，且当时，；当时，；当时，.若对，都有，则的取值范围是__________.
【典例2】对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为__________.
【题型训练】
一、单选题
1．（陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题）已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（重庆市第八中学2023届高三上学期高考适应性月考（四）数学试题）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．[0，1]
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（江西省赣州市2023届高三二模数学（文）试题）定义在上的偶函数满足，且，关于的不等式的整数解有且只有个，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（三））已知函数，若不等式有3个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数的图象上恰有3对关于原点成中心对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知，函数，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·天津红桥·统考一模）函数，关于的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若关于x的方程有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（山东省青岛市即墨区2022-2023学年高三下学期教学质量检测数学试题）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1），（2），（3），（4），从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________.
14．（上海市2023届高三上学期二模暨秋考模拟数学试题）已知函数，则不等式的解集是___________．
15．（河南省许济洛平2022-2023学年高三第三次质量检测文科数学试题）定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是__________．
16．（2022秋·辽宁本溪·高三本溪高中校考期中）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围为__________________.
17．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰好有四个实根，则实数k的取值范围是___．
18．（2023届高三上学期一轮复习联考（一）全国卷文科数学试题）已知函数，若不等式的解集中恰有两个非负整数，则实数k的取值范围为______________．
19．（2023·北京西城·统考二模）已知直线和曲线，给出下列四个结论：
①存在实数和，使直线和曲线没有交点；
②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
①作函数的图像
②函数图像的辨识
③函数图像的应用
第12讲 函数的图像（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
1．利用描点法作函数的图象
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
(2)对称变换
①y＝f (x)的图象eq \(―――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象eq \(――――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f (－x)的图象；
③y＝f (x)的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象eq \(――――――――――→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝lgax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f (x)的图象
eq \(―――――――――――――――――――――――→,\s\up27(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)) y＝f (ax)的图象；
②y＝f (x)的图象
eq \(――――――――――――――――――――――――――――――→,\s\up10(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d10(0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af (x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f (x)的图象eq \(――――――――――――――――→,\s\up10(x轴下方部分翻折到上方),\s\d10(x轴及上方部分不变))y＝|f (x)|的图象；
②y＝f (x)的图象eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up10(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d10(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f (|x|)的图象．
【常用结论】
1．函数图象自身的轴对称
(1)f (－x)＝f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于x＝a对称⇔f (a＋x)＝f (a－x)⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (－x)＝f (2a＋x)；
(3)若函数y＝f (x)的定义域为R，且有f (a＋x)＝f (b－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)f (－x)＝－f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于(a，0)对称⇔f (a＋x)＝－f (a－x)⇔f (x)＝－f (2a－x)⇔f (－x)＝－f (2a＋x)；
(3)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f (a＋x)＝2b－f (a－x)⇔f (x)＝2b－f (2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f (a＋x)与y＝f (b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝2b－f (－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
题型一 作函数的图像
策略方法 作函数图象的两种常用方法
【典例1】已知.
（1）画函数的图象；
（2）若直线与的图象有4个不同的交点，求实数的取值范围以及所有交点横坐标之和.
【答案】（1）图象见解析；（2）；4.
【分析】（1）由题得函数，再画图；
（2）利用数形结合分析得的取值范围，再利用对称性求出所有交点横坐标之和.
【详解】
（1）由题得函数，函数的图象如图所示.
（2）当时，.
因为直线与的图象有4个不同的交点，
所以.
设四个交点依次为,
所以
所以所有交点横坐标之和为4.
【点睛】本题主要考查函数的图象的画法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【题型训练】
一、解答题
1．（1）画函数的图象，并写出单调增区间；
（2）函数有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）图象见解析，增区间为，；（2）或.
【解析】（1）利用函数图象的翻折变换可得的图象，根据图象可得其增区间.
（2）考虑直线与的图象有两个交点即可得到a的取值范围.
【详解】（1）的图象如图所示：
由图象可知：函数的增区间为，.
（2）因为函数有两个零点，故直线与的图象有两个交点，
故或.
2．画函数图象：．
【答案】答案见解析.
【分析】判断函数的奇偶性，先利用描点法作出上函数的图象，再利用对称关系作出的图象.
【详解】因为，
所以函数为偶函数，
当时，，
的对应值表如下
描点后用平滑曲线连接可得上函数的图象，再将其关于轴对称画出上的图象，从而可得函数的图象，如下图
3．画函数图象
【答案】见解析.
【分析】利用图象变换法作出函数图象.
【详解】由题可知＝,
当时， ，其图象可由的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位而得如图()．
又因为，
所以为奇函数，所以图象关于原点对称．
∴ 的图象如图()．
题型二 函数图像的辨识
策略方法 辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】如图，函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性及值域分析即可.
【详解】由题意，
即为奇函数，可排除C项，
而当且仅当即时，取等号，
且时，，可排除B、D选项，
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（甘肃省白银市靖远县2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.
【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AC；
根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除D.
故选：B
2．（海南省2023届高三学业水平诊断（三）数学试题）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性证明函数为偶函数；分别求出，利用排除法，结合选项即可求解.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
，
则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；
又，故排除AB，D符合题意.
故选：D.
3．（陕西省咸阳市2023届高三三模文科数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用排除法，结合函数图象，利用函数的定义域和导数研究函数的单调性，依次判断选项即可.
【详解】由图象可知，函数f（x）的定义域为R.
A：，函数的定义域为，所以A不符题意；
B：，函数的定义域为，所以B不符题意；
C：当时，，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，所以是函数的极大值，
结合图形，不是极大值，故C不符题意；
D：当时，，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，结合图形，D符合题意；
故选：D．
4．（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.
【详解】由，
得，
所以为偶函数，故排除BD.
当时，，排除A.
故选：C.
5．（2023年全国卷（老教材）文科数学预测卷）函数在区间上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由选项图形特点，先判断函数的奇偶性，然后再根据和两个区间上函数值的正负即可判断出函数图象.
【详解】因为，且，所以函数为奇函数，故排除A，B．
当时，，，，所以；
当时，，，，所以．故排除D．
故选：C．
6．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算即可判断.
【详解】因为，易知的定义域为.
因为，所以为奇函数，
图象关的原点对称.排除A，D选项；
又，，所以排除C选项.
故选：B.
7．（2023年高三数学（理）押题卷四）函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合函数的定义域，零点，时函数值的符号进行判断.
【详解】由知，，排除C选项；
函数没有定义，排除B；
时，，根据指数函数的单调性可知，，
又弧度是第二象限角，故，于是时，，排除D.
故选：A.
8．（重庆市2023届普高三模拟调研（三）数学试题）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD，最后利用特值法排除选项B，进而得到正确选项A.
【详解】由，可得，则定义域为，
则，
，
则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD；
又，则排除选项B，正确选项为A.
故选：A
9．（安徽省芜湖市2023届高三下学期5月教学质量统测数学试题）函数在区间的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察A、B两项，发现图像在处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值代入导函数中判断即可.
【详解】因为，所以是奇函数，排除C、D两项；
当时，，则，
所以，
所以在处的切线斜率为负数，故排除A项；
故选：B.
10．（河北省2023届高三模拟（一）数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由图象得故排除AC选项；对D选项根据极值点个数排除；分析B项满足.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，有两个不等的实根，故有两个极值点，D选项错误．
对于B选项，，；
当时，，，此时，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
依次类推可知函数值有正有负；
显然不单调；
因为当时，所以有多个零点；
因为，所以，所以既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故B正确.
故选：B．
11．（2023年高考数学（理）终极押题卷）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性，可排除AC，由，可排除B，从而可选出答案.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且，
故函数为上的偶函数，其图象关于轴对称，可排除AC；
，因为，所以，可排除B，
只有D选项符合以上信息.
故选：D.
题型三 函数图像的应用
策略方法 1.利用函数图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解．
2.利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标．
【典例1】定义在上的函数满足，且当时，；当时，；当时，.若对，都有，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据已知可得出函数在区间以及区间上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设，以及.进而根据已知条件，推出函数在内的解析式，进而求解即可得出的值，进而得出的取值范围.
【详解】由当时，，可得的图象在该区间内关于直线对称；
由当时，，可得的图象在该区间内关于点对称.
结合已知条件，作出函数的部分图象如下图
由图象可设，且时，都有，且.
设，则，.
因为，当时，，所以，.
当时，，所以.
又函数满足，
所以，，
所以，.
令，解得，即.
所以，.
故答案为：
【典例2】对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为__________.
【答案】
【分析】由，得，由已知条件可得函数的图像的对称性和周期性，可作出函数的图像，由题意的图像函数在上的图像相切，联立方程组利用判别式求解.
【详解】，，，
令，则有，
任意，恒有，则函数的图像关于对称，函数是以2为周期的周期函数，
在同一直角坐标系下作出函数与的图像，如图所示，
函数的图像与有4个不同的公共点，由图像可知，的图像函数在上的图像相切，
由，消去得，则，解得.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【题型训练】
一、单选题
1．（陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题）已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意对任意恒成立，转化为 恒成立，利用数形结合法求解.
【详解】因为函数的图象恒在轴下方，
所以对任意恒成立，
又时，可得对任意恒成立，
即恒成立，
在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示：
由图象知，只需，
解得，又，所以，
故选：A
2．（重庆市第八中学2023届高三上学期高考适应性月考（四）数学试题）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．[0，1]
【答案】D
【分析】转化为的图象在图象的上方，画出的图象，数形结合得到，再求出在的切线的斜率，得到，从而得到实数的取值范围.
【详解】在上恒成立在上恒成立的图象在图象的上方，
其中，
画出与y=ax的图象，如下：
要想在上恒成立，则；
令，则，，
若为在的切线，则，
故要想在恒成立，则，
综上：.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据所给方程，求出,，根据关于的方程恰有5个不同的实根，借助于图像可知的取值范围.
【详解】，
，
，
或.
作出函数的图像如图所示，
由图知的图像与有两个交点，
若关于的方程恰有5个不同的实根，则的图像与有三个公共点，所以的取值范围.
故选：D.
4．（江西省赣州市2023届高三二模数学（文）试题）定义在上的偶函数满足，且，关于的不等式的整数解有且只有个，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，且该函数为周期函数，周期为，根据题意可知不等式在上有且只有个整数解，数形结合可得出关于实数的不等式组，即可得解.
【详解】因为定义在上的偶函数满足，
所以，函数的图象关于直线对称，
则，即函数为周期函数，且周期为，
令，该函数的定义域为，则，即函数为偶函数，
因为，则，即满足，
又因为不等式有个整数解，
所以，不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：
所以，，即，解得.
故选：A.
5．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（三））已知函数，若不等式有3个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意将不等式等价转化为有3个整数解．利用导数研究函数的性质并画出草图，结合图形列出关于a的不等式组，解之即可.
【详解】函数的定义域为．
由，得，则不等式有3个整数解．
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以当时，，当时，，
易知的图象恒过点，
在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示．
由图象可知，
要使不等式有3个整数解，
则，解得，故选：A．
6．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数的图象上恰有3对关于原点成中心对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】问题转化为方程：有三个大于0的根，
即等价于与在上有三个交点，如图所示，
显然，当时，不符合题意.
当时，
只需满足且方程：有两根，
则有，
令，函数开口向上，对称轴，要使函数两零点均大于，则有，解得，满足两根均大于，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
7．（2023·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知，函数，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】数形结合法，令，可得方程的解有3个，对应的一元二次方程各有2个不相等的实数根，利用判别式求解的范围.
【详解】令，则方程的解有3个，
由图象可得，，且三个解分别为，
则，，，
均有两个不相等的实根，
则，且，且，
即且，解得，
当时，，
因为，所以，所以，且，
所以，即恒成立，
故的取值范围为.
故选:B.
8．（2023·天津红桥·统考一模）函数，关于的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】把函数有2个不相等的实数根转化为以和的图象有两个交点，作出图象求解即可.
【详解】因为函数有2个不相等的实数根，
所以和的图象有两个交点.
作出函数的图象如图所示：
当时，，，，
要使函数和的图象有两个交点，则，
当，，，，
当时，，过点与曲线的切点为，
，可得：，所以，
所以切线斜率为，要使函数和的图象有两个交点，
由图可得,
当时，关于的方程有2个不相等的实数根.
综上：.
故选：A.
9．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若关于x的方程有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，画出函数图象，考虑临界点即可求解.
【详解】作出函数的图象如下图所示，直线恒过点，
当过点时，解得，此时直线与有两个交点，故关于的方程有两个互不相等的实根；
将代入得，当时，直线与抛物线只有一个交点，则，解得或，
当时，解得，不满足，则应舍去，即，
所以实数k的取值范围是.
故选：.
10．（山东省青岛市即墨区2022-2023学年高三下学期教学质量检测数学试题）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【详解】因，又当时，，
当，，时，，
则，
，
当，，时，，
则，
，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，
设的最大值为，
则，且
所以，解得
所以m的最大值为.
故选：A.
11．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题知，根据题意得到：恒成立且有两解，分别讨论和时的情况，根据图象即可得到的取值范围.
【详解】由题意知：，
则对任意的恒成立，
又有两解，
则恒成立且有两解.
，
当时，如图所示：
只需，解得，
当时，如图所示：
只需且或者即可，解得，
综上所述：.
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】确定函数的大致图象，令，则关于的方程即可写成，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，函数的图象如图所示：
根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线.
令，则关于的方程即可写成，
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根
设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当，时，此时，则；
②当，时，此时，则；
综上可知，实数的取值范围是.故选：C.
二、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1），（2），（3），（4），从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________.
【答案】
【详解】
如图所示，与，与，与，与均有多个公共点，
令，则，∴在上单调递增，
又∵，∴有唯一零点，
∴与的图象有且仅有一个公共点；
令，则，∴在上单调递增，
又∵，
∴存在，使，且是的唯一零点，
∴与的图象有且仅有一个公共点.∴从四个函数中任选个，共有种可能，
“所选个函数的图象有且仅有一个公共点的有与和与共种可能，∴“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.故答案为：.
14．（上海市2023届高三上学期二模暨秋考模拟数学试题）已知函数，则不等式的解集是___________．
【答案】
【分析】由得，作出和的图像，结合图像求得不等式的解集．
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图像如图：
两函数图像的交点坐标为，
由图可知：当或时，成立，
所以不等式的解集为：．故答案为：．
15．（河南省许济洛平2022-2023学年高三第三次质量检测文科数学试题）定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由，根据，可得依此类推，作出函数的图象，结合图象即可求解．
【详解】因为当时，，所以，
因为，当时，即时，
由，所以，
同理可得
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：当时，令，则，
对任意，都有，则
故的取值范围为，故答案为：
16．（2022秋·辽宁本溪·高三本溪高中校考期中）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围为__________________.
【答案】
【分析】首先画出函数的图像，不妨设，根据可知，根据可知，所以，利用的单调性可求得的取值范围.
【详解】作出函数的大致图象，如图所示：
由题意，若，，互不相等，且，可知不妨设，
则，，得，
所以，即，同理，即，，
所以，
又，，，所以，令函数（），
根据对勾函数可得g(x)在区间上单调递增，所以，
从而.
所以的取值范围为.
故答案为：.
17．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰好有四个实根，则实数k的取值范围是___．
【答案】
【分析】根据分段函数分段作出函数的图象，问题转化为函数与图象交点问题，数形结合即可得解.
【详解】当时，，的图象向右平移2个单位，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，也即在区间上的图象，以此类推，则在区间上的图象如图所示，
设，若方程恰好有四个实根，
则函数与的图象有且只有四个公共点，
由图得，，
则，
则，
所以与的图象有且只有四个公共点时，
故答案为：
18．（2023届高三上学期一轮复习联考（一）全国卷文科数学试题）已知函数，若不等式的解集中恰有两个非负整数，则实数k的取值范围为______________．
【答案】
【分析】由题可得，构造函数，问题等价于的图象在的图象上方所对应的x的取值范围中恰好有两个非负整数，利用导数研究函数的性质，然后利用数形结合即得.
【详解】因为等价于，即，
设，则上面不等式转化为，
因为直线恒过定点，要使的解集中恰有两个非负整数，
只需的图象在的图象上方所对应的x的取值范围中恰好有两个非负整数，
因为，
所以时，，单调递增，时，单调递减，
所以，且，当时，，时，，
作出函数与直线的图象：
从图象可得，要使的图象在的图象上方所对应的x的取值范围中恰好有两个非负整数解，只需满足：
，即，
解得，
综上，实数k的取值范围为．
故答案为：．
19．（2023·北京西城·统考二模）已知直线和曲线，给出下列四个结论：
①存在实数和，使直线和曲线没有交点；
②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
【答案】① ② ③
【分析】根据图象的对称性，求导得切线斜率的最大值，由数形结合，结合选项即可判断.
【详解】对于①,由于为偶函数，故图象关于轴对称，且，
当或时，此时直线和曲线没有交点；（如下图）故正确 ①，
对于②，，当时，，
所以当，
故当 单调递减，当 单调递增，
故当时，此时 取极大值也是最大值，
故某一点处的切线的斜率最大值为，
当时，此时直线和曲线恰有个交点；故②正确，
对于③，当时，对任意的 直线过原点，此时直线与只有一个零点，故③正确，
对于④，当直线与曲线上某一点处的切线平行时（斜率小于），且在切点之上的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误.
故答案为：① ② ③①作函数的图像
②函数图像的辨识
③函数图像的应用
0
1
2
3
…
2
…