江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试题（Word版附答案）

这是一份江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若，则的值为（ ）
A．B．或2C．或2D．或
3．函数在的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．命题“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义城为，且满足，且当时，，则（ ）
A．B．C．3D．4
8．已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分．
9．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“且”是“”的必要不充分条件
10．下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是3
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
11．已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为偶函数
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数是偶函数，则实数______．
13．集合，若，则实数的取值范围为______．
14．记表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则______；若，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
设集合．．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．（本小题满分15分）
随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：
（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
17．（本小题满分15分）
定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
18．（本小题满分17分）
在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，．
（1）证明：；
（2）求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大．
19．（本题满分17分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是的极小值点，求的取值范围．
使用智能辅导系统
未使用智能辅导系统
合计
入学测试成绩优秀
20
20
40
入学测试成绩不优秀
40
20
60
合计
60
40
100
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
高三年级暑期检测
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分．
9．【答案】BC 10．【答案】BCD
11．【答案】ACD
【详解】A选项，的定义域为R，其图象关于中心对称，故，故，A正确；
B选项，由题意得，又，故，令得，即，B错误；
C选项，由题意得，即，
令，则，所以为奇函数，C正确；
D选项，因为，所以，
即，故，
令，则，故为偶函数，D正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】 21
【详解】当时，表示3个元素的有限集，
由可知：或或或，故；
由题，，由，
即，解得或（舍去），
由，故的最小值为21，
四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
【详解】（1），
当时；
当时，由得：，即；
综上，；
（2）由题得，，所以，且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为．
16．【详解】（1），
没有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
（2）人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀，
的取值可能为0、1、2，
，
分布列为：
．
17．解：（1）是奇函数，，即，解得，
又由知：，解得．
此时，，即是奇函数．
故．
【或】是奇函数，
，即恒成立．
或
当时，的定义域为，舍去，
故．
（2）由（1）知，则在上为减函数，
又是奇函数，由得：，
，即在上有解，
当且仅当，即时等号成立，
在上的最大值为，
，即．
18．【详解】
（1）略；
（2）如图分别以所在的直线为轴，
不妨设，则，
，设，
则，解得，
设平面的法向量为，
则，
所以，取，则，即，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则，
令，则，
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即时，．
19．【详解】（1）当时，，
设，则，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，取得极大值，所以，
所以在上单调递减；
（2），
设，则，
（ⅰ）当时，二次函数开口向上，对称轴为，
当时，单调递增，
因为，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是的极小值点．
当时，，又，
所以存在，使得，所以当时，单调递增，
又，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是的极小值点；
（ⅱ）当时，，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是的极小值点；
（ⅲ）当时，开口向下，对称轴为，此时，故，使，
当时，，因此在上单调递增，
又，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以为的极小值点；
（ⅳ）当时，，使，
当时，，因此在上单调递减，
又，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以为的极大值点；
（ⅴ）当时，由（1）知非极小值点．
综上所述，．0
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