湖南省长沙大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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考试范围：必修部分；考试时间：120分钟，满分120分.
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共40分）
1. 命题：的否定是（ ）
A. 使得
B. 使得
C 都有
D. 都有
2. 若：，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数，且函数最小正周期为，则下列关于函数的说法，
①；
②点是的一个对称中心；
③直线是函数的一条对称轴；
④函数单调递增区间是.
其中正确的（ ）
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
5. 已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 在直三棱柱中，底面是以B为直角的等腰三角形，且，.若点D为棱的中点，点M为面的一动点，则的最小值为（ ）
A. B. 6C. D.
7. 已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
8. 已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共18分）
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 与垂直的单位向量的坐标为
D. 若向量与向量共线，则
10. 已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（ ）
A. -2B. 3C. 5D. 8
11. 对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是
A. 函数是闭函数
B. 函数是闭函数
C. 函数是闭函数
D. 时,函数是闭函数
E. 时,函数是闭函数
三、填空题（共15分）
12. 若函数具有性质：①为偶函数，②对任意，都有，则函数的解析式是_____________．（只需写出满足条件的一个解析式即可）
13. 若正实数x，y满足，则的最小值为______．
14. 已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为______.
四、解答题（共77分）
15. 已知函数，.
（1）求函数的最小正周期和对称轴；
（2）设的内角的对边分别为，满足，，且的面积为，求的值.
16. 如图，在五面体中，四边形是正方形，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
17. 已知某科技公司某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；
（2）设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产：
方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；
方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
18. 设A是符合以下性质的函数组成的集合，对任意的且在上是减函数。
（Ⅰ）判断函数及是否属于集合A，并简要说明理由；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中你认为是集合A中的一个函数记为，若不等式对任意的总成立，求实数k的取值范围。
19. 已知函数.
（1）若，，且在上的最大值为，最小值为，试求，的值；
（2）若，，且对任意恒成立，求的取值范围.（用来表示）