湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 1B. 4C. 6D. 7
2. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，，，则的最小值是（ ）
A. 8B. 12C. 16D.
6. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ）
A. 0.4B. 0.58C. 0.7D. 0.72
7. 甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减
D. 的图象关于点对称
10. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，，；n，，．记样本平均数为，样本方差为，．
A. 男生样本容量为50B. 每个女生被抽到的概率
C. 抽取的样本的均值为165D. 抽取的样本的方差为43
11. 如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
C. 若保持，则点M的运动轨迹长度
D. 平面截正方体所得截面等腰梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则m的值为________．
13. 如图60°的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则__________．
14. 若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中，则t的一个取值可以为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设锐角的内角的对边分别为，
（1）求角；
（2）若边，面积为，求的周长．
16 现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，得到如下频率分布直方图．
（1）求的值并估计这名男生的身高的第百分位数；
（2）求这名男生中身高在以上（含）的人数；
（3）从这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，求该人中身高恰有人在以上（含）的概率．
17. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为棱BC，PD的中点，Q是线段PC上的一点．
（1）若Q是直线PC与平面的交点，试确定的值；
（2）若三棱锥体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”．
（1）设函数，求函数的“特征向量”；
（2）若函数的“特征向量”为，求当且时的值；
（3）若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
（1）若平面：，平面：，直线l为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量；
（2）已知集合，，．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合T中所有点构成的几何体为W．
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求几何体W的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．