新高考物理一轮专题特训重点突破：第25讲 电磁复合场（含答案解析）

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带电粒子在组合场中的运动
知识精讲
一．带电粒子在电场和磁场的组合场中运动，实际上是将粒子在电场中的加速与偏转，跟磁偏转两种运动组合在一起，有效地区别电偏转和磁偏转，寻找两种运动的联系和几何关系是解题的关键。当带电粒子连续通过几个不同的场区时，粒子的受力情况和运动情况也发生相应的变化，其运动过程则由集中不同的运动阶段组成。
二．“磁偏转”和“电偏转”的比较
项目
电偏转
磁偏转
偏转条件
带电粒子以 SKIPIF 1 < 0 进入匀强电场
带电粒子以 SKIPIF 1 < 0 进入匀强磁场
受力情况
只受恒定的电场力 SKIPIF 1 < 0
只受大小恒定的洛伦兹力 SKIPIF 1 < 0
运动情况
类平抛运动
匀速圆周运动
求解方法
利用类平抛运动的规律 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
牛顿第二定律、匀速圆周运动公式 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
三点剖析
课程目标：
掌握解决带电粒子在组合场中运动问题的方法
电场与磁场组合
例题1、 在如图所示的直角坐标系中，y＞0的范围内存在着沿y轴正方向的有界匀强电场，在y＜0的范围内存在着垂直纸面的匀强磁场（方向未画出）。已知a＝c＝cd＝L，b＝L／4。现有一个带电粒子，质量为m，电荷量大小为q（重力不计）。t＝0时刻，这个带电粒子以初速度V0从a点出发，沿x轴正方向开始运动。观察到带电粒子恰好从d点第一次进入磁场，然后从O点第—次离开磁场。试回答：
（1）判断带电粒子的电性和匀强磁场的方向；
（2）匀强电场的场强大小；
（3）若带电粒子在y轴的a、b之间的不同位置以相同的速度V0进入电场，第一次离开磁场的位置坐标x与出发点的位置坐标y的关系式.
例题2、 如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P3点。不计重力。求
（1）电场强度的大小。
（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。
（3）磁感应强度的大小。
（4）粒子从P1点运动到P3点所用时间。
随练1、 如图所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为E和 SKIPIF 1 < 0 ；Ⅱ区域内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、带电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边界O点正上方的M点以速度 SKIPIF 1 < 0 水平射入电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中。求：
（1）粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径；
（2）O、M间的距离；
（3）粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间。
随练2、 如图甲所示，两平行金属板接有如图乙所示随时间t变化的电压U，两板间电场可看作均匀的，且两板外无电场，板长L＝0.2m，板间距离d＝0.2m。在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO'垂直，磁感应强B＝5×10－3T，方向垂直纸面向里。现有带正电的粒子流沿两板中线OO'连续射入电场中，已知每个粒子速度V0＝105m／s，比荷q／m＝108C／kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。
（1）试求带电粒子射出电场时的最大速度。
（2）证明：在任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和在MN上出射点的距离为定值，写出该距离的表达式。
（3）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场，求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间。
随练3、 如图所示，在xOy平面内，第三象限内的直线OM是电场与磁场的边界，OM与负x轴成45°角x＜O且OM的左侧空间中存在着沿x轴负方向的匀强电场E＝0.32N/C，在y＜0且OM的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场B，磁感应强度大小为0.1T．一不计重力的带负电的粒子，从坐标原点O沿y轴负方向以v0＝2×103m/s的初速度进入磁场，己知粒子的带电量为q＝5×10－18C，质量为m＝1×10－24kg，求：
（1）带电粒子第一次经过磁场边界的位置A坐标；
（2）带电粒子在磁场区域运动的总时间（结果保留4位有效数字）；
（3）带电粒子最终离开电、磁场区域进入第一象限时的位置坐标。
磁场与磁场组合
例题1、 如图所示，在x轴上方有磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。x轴下方有磁感应强度大小为B/2，方向也为垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为－q的带电粒子（不计重力），从x轴上O点以速度v0垂直x轴向上射出。求：
（1）射出之后经多长时间粒子再次进入x轴上方的匀强磁场？
（2）若x轴下方的匀强磁场的磁感应强度大小变为2B/3，求粒子射出后经过多长时间回到O点。
例题2、 如图所示，空间存在方向垂直于xOy平面向里的两部分匀强磁场，在x≥0的区域内，磁感应强度的大小为B，在x＜0的区域内，磁感应强度的大小为4B．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）以速度v从坐标原点O沿与x轴正方向成30°夹角的方向，第一次经过y轴射入第一象限的碰场中，直到粒子第三次经过y轴的过程中，求
（1）此过程中粒子运动的时间；
（2）粒子第三次经过y轴时与O点间的距离。
例题3、 如图所示，空间存在两个匀强磁场，它们分界线是边长为3L的等边三角形APC，D、E、F三点分别在PC、CA、AP边上，AF=PD=CE=L，分界线两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小相同，均为B，分界线外的磁场区域足够大．现有一质量为m、电荷量为q的带正电离子(不计重力)，从F点以速度v向三角形内射入．
(1)如果速度v方向与PC边平行，离子第一次到分界线就经过D点，则磁感应强度B的大小是多少？
(2)如果改变磁感应强度B的大小和速度v的方向(速度v的方向均在纸平面内)，使离子第一次、第二次到达分界线时依次经过D点和E点，求离子周期性运动的周期；
(3)再改变磁感应强度B的大小和速度v的方向(速度v的方向均在纸平面内)，能否仍使离子第一次、第二次到达分界线时依次经过D点和E点？为什么？
随练1、 如图所示，在空间中有一坐标系Oxy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域I和Ⅱ，直线OP是它们的边界．区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内．边界上的P点坐标为(4L，3L)．一质量为m．电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O．忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cs37°=0.8．则下列说法中不正确的是( )
A.该粒子一定沿y轴负方向从O点射出
B.该粒子射出时与y轴正方向夹角可能是74°
C.该粒子在磁场中运动的最短时间t= SKIPIF 1 < 0
D.该粒子运动的可能速度为v= SKIPIF 1 < 0 (n=1，2，3…)
随练2、 如图所示，MN板两侧都是磁感应强度为B的匀强磁场，方向如图所示，带电粒子（不计重力）从a位置以垂直B方向的速度V开始运动，依次通过小孔b、c、d，已知ab＝bc＝cd，粒子从a运动到d的时间为t，则粒子的荷质比（ ）
随练3、 如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界（BC与L1重合），宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感强度大小为B1。一电荷量为q、质量为m（重力不计）的带正电点电荷从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场，点电荷恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ。已知AB长度是BC 长度的 SKIPIF 1 < 0 倍。

（1）求带电粒子到达B点时的速度大小；
（2）求磁场的宽度L；
（3）要使点电荷在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2。
随练4、 如图所示装置中，区域I中有竖直向上的匀强电场，电场强度为E，区域Ⅱ内有垂直纸面向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B，区域Ⅲ中有垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度为2B．一质量为m、带电荷量为q的带负电粒子从左边界O点正上方的M点以速度v0水平射入电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强磁场中。（粒子重力不计）求：
（1）粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径；
（2）O、A间的距离；
（3）粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间。
随练5、 如图所示，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B1，x轴的下方－5l＜y＜0的空间存在垂直纸面向内的匀强磁场Ⅱ．一质量为m、电荷量为q的带电粒子从第二象限内坐标为（－31， SKIPIF 1 < 0 ）的P点以某一速度沿PQ方向射出，粒子从y轴上的Q（坐标未知）点进入第一象限，恰好从坐标原点O进入第三象限，粒子经过原点O点时与x轴负方向的夹角为30°，在以后的运动中粒子经过第一象限坐标位（61， SKIPIF 1 < 0 ）M点（未标出），不计粒子重力，求：
（1）求粒子的速度大小；
（2）匀强磁场Ⅱ磁感应强度的最大值及最小值。
带电粒子在复合场中的运动
知识精讲
一．质谱仪
质谱仪是利用电场和磁场控制电荷运动的精密仪器，它是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。其结构如甲图所示，容器A中含有电荷量相同而质量有微小差别的带电粒子。经过S1和S2之间的电场加速，它们进入磁场将沿着不同的半径做圆周运动，打到照相底片的不同地方，在底片上形成若干谱线状的细条，叫做质谱线，每一条谱线对应于一定的质量。从谱线的位置可以知道圆周的半径，如果再已知带电粒子的电荷量，就可以算出它的质量，这种仪器叫做质谱仪。
2．比荷的计算
如图乙所示，设飘入加速电场的带电粒子带电荷量为+q、质量为m，两板间电压为U，粒子出电场后垂直进入磁感应强度为的匀强磁场。
在加速电场中，由动能定理得 SKIPIF 1 < 0 。粒子出电场时，速度 SKIPIF 1 < 0 。
在匀强磁场中轨道半径： SKIPIF 1 < 0 。
粒子质量： SKIPIF 1 < 0 。
通过质谱仪可以求出该粒子的比荷（电荷量与质量之比）： SKIPIF 1 < 0 。
二．回旋加速器
利用电场对带电粒子的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用来获得高能粒子，这些过程在回旋加速器的核心部件——两个D形盒和其间的窄缝内完成，如图所示。
1．磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，并在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其周期和速率、半径均无关（ SKIPIF 1 < 0 ），带电粒子每次进入D形盒都运动相等的时间（半个周期）后平行电场方向进入电场中加速。
2．电场的作用：回旋加速器的两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的并垂直于两D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。
3．交变电压：为了保证带电粒子每次经过窄缝时都被加速，使之能量不断提高，需在窄缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压。
4．带电粒子的最终能量：当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由圆周运动的规律可知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，若D形盒的半径为R，则r=R，带电粒子的最终动能： SKIPIF 1 < 0
由上式可以看出，要使粒子射出的动能 SKIPIF 1 < 0 增大，就要使磁场的磁感应强度B以及D形盒的半径R增大，而与加速电压U的大小无关（U≠0）。
三．电磁流量计
1．功能：电磁流量计是利用霍尔效应来测量管道中液体流量（单位时间内通过管内横截面的液体的体积）的一种设备。
2．其原理为：
圆形管道直径为 d（用非磁性材料制成），管道内有向左匀速流动的导电液体，在管道所在空间加一垂直管道向里的匀强磁场，设磁感应强度为 B；管道内随液体一起流动的自由电荷（正、负离子）在洛仑兹力作用下垂直磁场方向偏转，使管道上 ab 两点间有电势差，管道内形成电场；当自由电荷受电场力和洛仑兹力平衡时，ab 间电势差就保持稳定，测出 ab 间电势差的大小 U，则有： SKIPIF 1 < 0 故管道内液体的流量： SKIPIF 1 < 0 。
四．磁流体发电机
1．功能：磁流体发电就是利用等离子体来发电。
2．工作原理:磁流体发电机结构原理如图（1）所示，其平面图如图（2）所示。进入磁场区域的电荷由于受到洛仑兹力而发生偏转，在 MN 两板间形成电场，使电荷受到电场力作用。当两板上积累的电荷量足够多，板间形成的场强足够大，使电荷所受洛仑兹力与电场力平衡，从而做匀速直线运动，此时极板上也就不再积累电荷而形成稳定的电势差。
电动势: SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，则磁流体发电机的电动势 SKIPIF 1 < 0 ；电流： SKIPIF 1 < 0
五．霍尔元件
1．霍尔效应。金属导体板放在垂直于它的匀强磁场中，当导体板中通过电流时，在平行于磁场且平行于电流的两个侧面间会产生电势差，这种现象叫霍尔效应。
2．霍尔效应的解释。如图，截面为矩形的金属导体，在 x 方向通以电流 I，在 z 方向加磁场 B，导体中自由电子逆着电流方向运动。由左手定则可以判断，运动的电子在洛仑兹力作用下向下表面聚集，在导体的上表面 A 就会出现多余的正电荷，形成上表面电势高，下表面电势低的电势差，导体内部出现电场，电场方向由 A 指向 A´，以后运动的电子将同时受洛仑兹力 F洛 和电场力 F洛 作用，随着表面电荷聚集，电场强度增加， F洛 也增加，最终会使运动的电子达到受力平衡（ SKIPIF 1 < 0 ）而匀速运动，此时导体上下两表面间就出现稳定的电势差。
3．霍尔效应中的结论。
设导体板厚度为 h(y 轴方向)、宽度为 d、通入的电流为 I，匀强磁场的磁感应强度为 B，导体中单位体积内自由电子数为 n，电子的电量为 e，定向移动速度大小为 v，上下表面间的电势差为 U；
（1）由 SKIPIF 1 < 0  ①
（2）U、I、B 的关系还可表达为 SKIPIF 1 < 0 其中 k 为霍尔系数②
电流的微观表达式有： SKIPIF 1 < 0 ③
联立①②③式可得 SKIPIF 1 < 0
由此可通过霍尔系数的测定来确定导体内部单位体积内自由电子数。
（3）考察两表面间的电势差 SKIPIF 1 < 0 ，相当于长度为h的直导体垂直匀强磁场 B 以速度v切割磁感线所产生的感应电动势 SKIPIF 1 < 0 。
三点剖析
课程目标：
掌握带电粒子在复合场中运动的分析，理解常见的几种应用：速度选择器、质谱仪、等离子体发电机、电磁流量计和霍尔效应。
带电粒子在叠加场中的运动
例题1、 在光滑水平地面水平放置着足够长的质量为M的木板，其上放置着质量为m带正电的物块（电量保持不变），两者之间的动摩擦因数恒定，且M＞m。空间存在足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，某时刻开始它们以大小相等的速度相向运动，如图取向右为正方向，则下列图象可能正确反映它们以后运动的是( )
例题2、[多选题] 如图所示，套在足够长的绝缘直棒上的带正电小球，其质量为m，电量为q。将此棒竖直放在互相垂直的、沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度大小为E，匀强磁场的磁感应强度为B，小球与棒间的滑动摩擦系数为μ，小球由静止沿棒竖直下落，重力加速度为g，且 SKIPIF 1 < 0 ，小球带电量不变。下列说法正确的是（ ）
随练1、[多选题] 如图所示，空间中存在一水平方向匀强电场和一水平方向匀强磁场，且电场方向和磁场方向相互垂直．在电磁场正交的空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成60°夹角且处于竖直平面内．一质量为m，带电量为＋q的小球套在绝缘杆上．初始，给小球一沿杆向下的初速度v0，小球恰好做匀速运动，电量保持不变．已知，磁感应强度大小为B，电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则以下说法正确的是（ ）
A.小球的初速度为 SKIPIF 1 < 0
B.若小球的初速度为 SKIPIF 1 < 0 ，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止
C.若小球的初速度为 SKIPIF 1 < 0 ，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止
D.若小球的初速度为 SKIPIF 1 < 0 ，则运动中克服摩擦力做功为 SKIPIF 1 < 0
随练2、[多选题] 如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆处在磁感应强度为B的匀强磁场中，圆环以初速度v0向右运动直至处于平衡状态，则圆环克服摩擦力做的功可能为（ ）
回旋加速器
例题1、[多选题] 如图所示，已知回旋加速器的匀强磁场的磁感应强度为B，D形金属盒的半径为R，狭缝间的距离为d，加在两D形金属盒间电压为U。一个电荷量为q，质量为m的带电粒子在回旋加速器的中心从速度为O开始加速，当它离开回旋加速器时的动能为Ek。要使该粒子离开回旋加速器时的动能大于Ek，则下列方法中正确的是( )
例题2、 1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于真空中的两个D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计，磁感应强度为B的匀强磁场方向与盒面垂直。两D形盒之间所加的交流电压为U，粒子质量m、电荷量为q的粒子从D形盒一侧圆心处开始被加速（初动能可以忽略），经若干次加速后粒子从D形盒边缘射出。求：
（1）交流电压的频率；
（2）粒子从D形盒边缘射出时的动能；
（3）粒子被加速的次数。
随练1、[多选题] 回旋加速器在科学研究中得到了广泛应用，其原理如图所示。D1和D2是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在电压为U、周期为T的交流电源上。位于D1圆心处的粒子源A能不断产生α粒子（初速度可以忽略），它们在两盒之间被电场加速。当α粒子被加速到最大动能Ek后，再将它们引出。忽略α粒子在电场中的运动时间，则下列说法正确的是（ ）
A.α粒子第n次被加速前、后的轨道半径比为 SKIPIF 1 < 0
B.若只增大交变电压U，则α粒子在回旋加速器中运行的时间会变短
C.若不改变交流电压的周期，仍可用此装置加速氘核
D.若是增大交变电压U，则α粒子的最大动能Ek会变大
随练2、[多选题] 如图所示，回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D形金属盒。两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速。两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，磁感应强度为B。若D形盒的半径为R，狭缝的距离为d，高频交流电的电压为U。质量为m，带电量为q的粒子在靠近狭缝的地方由静止开始加速。不计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
随练3、 1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器.回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，A处粒子源产生的粒子初速度可忽略不计，质量为m、电荷量为＋q，每次在两D形盒中间被加速时加速电压均为U，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。求：
（1）粒子第4次加速后的运动半径与第9次加速后的运动半径之比；
（2）粒子在回旋加速器中获得的最大动能及加速次数；
随练4、 回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展。回旋加速器的原理如图，D1和D2是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，取粒子在磁场中运动的周期与交流电的周期相同。位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D1、D2置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中。若输出时质子束的等效电流为I．（忽略质子在电场中的加速时间及质子的最大速度远远小于光速）
（1）写出质子在该回旋加速器中运动的周期及质子的比荷q/m；
（2）求质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P．
（3）若使用此回旋加速器加速氘核，要想使氘核获得与质子相同的最大动能，请分析此时磁感应强度应该如何变化，并写出计算过程。
速度选择器
例题1、 如图所示，一质子以速度 v 穿过互相垂直的电场和磁场区域而没有发生偏转，则下列说法 正确的是（ ）
A.若质子的速度 v′